Contabilidad de costos

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Apunte de Probabilidades y estadísticas: Para la media de una población normal, varianza, desvío estándar. Ejemplos.
INTERVALO DE CONFIANZA
1) Para la media μ de una población normal:
Li/s = x ± zα/2.σ/√n
Tener en cuenta que una confianza del 95% significa:
α/2 = 0,95
p = 1 - q
p = x/n
2) Para la media X :
Li/s = x ± t(n - 1)(1 - α/2).S/√n
t(α,v) se busca en tabla
3) Para lavarianza S²:

X²(α,v) se busca en tabla
4) Para el desvío estándar S:

5) Para muestras grandes:
Un intervalo de confianza 100(1 - α)% para la proporción p de una población, de muestras grandes, es:
p ± zα/2√p.q/n
 
Dónde p = x/n, n tamaño muestral, x es el número observado de éxitos, y q = 1 - p.
Este intervalo se puede emplear siempre que n.p ≥ 5 y n.q ≥ 5.
Ejemplo:
El gerentefinanciero de una gran cadena de tiendas seleccionó una muestra aleatoria de 200 de sus clientes que utilizan tarjetas de crédito, y encontró que 136 habían incurrido en cargos por intereses durante el año anterior debido a falta de pago de sus saldos.
a) Calcule un intervalo de confianza de 95% para la verdadera proporción de clientes que utilizan tarjetas de crédito, quienes han incurrido en cargospor intereses durante el año anterior.
b) Si la longitud deseada del intervalo de 90% es 0,05, ¿qué tamaño muestral es necesario para asegurar esto?
c) Calcule el intervalo de confianza de 82% para la verdadera proporción.
 
n = 200
x = 136
a) Para 1 - α/2 = 0,95
p = x/n
p = 136/200 = 0,68
p = 1 - q Þ q = 1 - p
q  = 1 - 0,68 = 0,32
Li/s = p ± z(1 - α/2).√p.q/n
Li/s = 0,68 ± z(0,95).√0,68.0,32/200
De tabla z(0,95) = 1,645
Li/s = 0,68 ± 1,645.0,33
Li/s = 0,68 ± 0,054
(0,626; 0,734)
 
b)
n = [z(1 - α/2) ².p.q]/L ²
n = 1,645 ².0,5.0,5/(0,25 ²)
Sin sondeo previo tomar p = q = 0,5
n = 10,82 clientes
 
c) Para el 82%
Li/s = p ± z(1 - α/2).√p.q/n
α = 0,82
1 - α = 0,18
α/2 = 0,09
1 - α/2 = 0,91
De tabla e interpolando z(1 - α/2) = 1,3425
Li/s = 0,68 ±z(0,91).√0,68.0,32/200
De tabla z(0,91) = 1,645
Li/s = 0,68 ± 1,3425.0,33
Li/s = 0,68 ± 0,0443
(0,6357; 0,7243)
Autor: Ricardo Santiago Netto.
Bibliografía: "Probabilidad y estadísticas para ingeniería y ciencias". Jay L. Devore. 1998.
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Apunte de Probabilidades yestadísticas: Distribución de la media de un muestreo. Teorema del límite central. Ejemplos.
DISTRIBUCION DE LA MEDIA DE UN MUESTREO
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces:
1. E(X) = μx = μ
2. V(X) = σx ² = σ ²/n y σx = σ/√n
Además, con T0 = X1 + X2 + ... + Xn (la muestra total), E(T0) = n.μ, V(T0) = n.σ ², y σ.T0 =√n.σ.

N: número de muestras.
n: número de muestras en el subconjunto extraído del conjunto madre de N muestras.
μx = μx
σx ² = σ ²/n
σx = σ/√n
A medida que aumentan las muestras, la variabilidad disminuye.
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución normal con valor medio μ y desviación estándar σ. Entonces, para cualquier n, X está normalmente distribuida (con media μ ydesviación estándar σ/√n), como es T0 (con media n.μ desviación estándar √n.σ).
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
Teorema:
Sea X1, X2, ..., Xn una muestra aleatoria de una distribución con media μ y varianza σ ². Entonces, si n es suficientemente grande, X tiene aproximadamente una distribución normal con μx = μ y σx ² = σ ²/n, y T0 tiene también aproximadamente una distribución normal con μT0 = n.μ, σ²T0 = n.σ ². Cuanto mas grande sea el valor de n, mejor será la aproximación.
El Teorema del Límite Central garantiza una distribución normal cuando n es suficientemente grande
Si n > 30, se puede usar el TLC.
Si la distribución madre es normal, la distribución de la media muestral también es normal, independientemente del tamaño.
x ≈ N(μx; σx) Þ x ≈ N(μx; σx)
Ejemplo 1:
Si se sabe...