Continuidad de una funcion

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Continuidad de una función
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Generalmente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funcioneses uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Continuidad de una función en un punto

Definición de continuidad en un punto
Una función f es continua en un punto Xo en el dominio de la función
si: tal que para toda x en el dominio de la función:

Otra manera más simple:
Si xo es punto deacumulación del dominio de la función entonces f es continua en xosi y sólo si . Cuando xo no es de acumulación del dominio, la función es continua en ese punto.
En el caso de aplicaciones de en , y de una manera más rigurosa se dice que una función f es continua en un punto x1 si existe f(x1), si existe el límite de f(x) cuando xtiende hacia x1 por la derecha, si existe el límite de f(x)cuando x tiende hacia x1 por la izquierda, y además ambos coinciden con f(x1).

Así pues, una función f continua en el punto x1 implica lo siguiente:
1. existe el límite por la derecha:

2. existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen ellímite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

La función es continua en ese punto. Una función es continua en un intervalo si es continua en todos sus puntos.
Si f(x1)= y1, la continuidad en x1 se expresa así:

parafraseando, cuando x se aproxima a x1,f(x) se aproxima a y1'. Por definición de los límites, esto significa que para todo intervalo abierto J, centrado en y1, existe un intervalo abierto I, centrado en x1, tal que .
Si f ejecuta un salto en el punto, el teorema cae en falta. En efecto no todo intervalo I alrededor de x1 tiene su imagen en un intervalo J centrado en y1, con un radio inferior al salto de f, no importa lo pequeño que esteintervalo sea, hay valores de x del intervalo I alrededor de x1 que tiene su imagen en un intervalo K centrado en y2, siendo y1 y y2valores distintos, esto es: x tiene imágenes que se salen de J.
La ventaja de esta definición es que se generaliza a cualquier espacio topológico.

Continuidad lateral

Una función f es continua por la izquierda en el punto x = x1 si el límite lateral por laizquierda y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

como en la figura.
Una función f es continua por la derecha en el punto x = x1 si su límite lateral por la derecha y el valor de la función en el punto son iguales. Es decir:

Una función f es continua en un punto si es continua por la izquierda y escontinua por la derecha. Esto es:


Continuidad de una función en unintervalo abierto: (a,b)
Un valor c, pertenece a un intervalo abierto I, de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= (a,b) si:

Una función, f es continua en un intervalo abierto I= (a,b), si y solo si la función es continua en todos los puntos del intervalo, es decir:

Continuidad de una función en un intervalo cerrado: [a,b]
Un valor c, pertenece a un intervalo cerrado I,de extremo izquierdo a y extremo derecho b, representado I= [a,b] si:

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si la función es continua en el intervalo abierto (a,b) y es continua por la derecha dea y continua por la izquierda de b:


Algunas funciones continuas importantes
Funciones seno y coseno.
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