Continuidad Y Derivada

Continuidad de una función de dos
variables
Una función f de dos variables es continua en un punto
(x0 , y0) de una región abierta R si f (x0 , y0) es igual al
limite de f (x , y) cuando (x , y)tiene a (x0 , y0). Esto es si :

lim

( x , y ) → ( x0 , y 0 )

f ( x, y ) = f ( x0 , y0 )

Se dice que f es continua en la región R si es continua
en todos los puntos de R .

Ejercicio:Determina la continuidad
funciones en el origen.
2

a)

3x y
f ( x, y ) = 2
2
x +y

x −y 
f ( x, y ) =  2
 x + y2 



2

b)

c)

2

2

f ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 )de las siguientes

Propiedades de las funciones
continuas de dos variables
Si k es un número real y f, g son funciones continuas en
un punto (x0 , y0), las funciones siguientes son continuasen (x0 , y0).
1. Múltiplo escalar:

kf

2. Suma y diferencia:
3. Producto:

fg

4. Cociente:

fg

f ±g

si

g ( x0 , y 0 ) ≠ 0

Continuidad de las funciones
compuestas
Si h escontinua en (x0 , y0), y g es continua en h(x0 , y0),
la función compuesta (gºh)(x , y)=g(h(x, y)) es continua en
(x0 , y0).

lim

( x , y ) → ( x0 , y 0 )

g (h( x, y ) ) = g (h( x0 , y 0 ) )Continuidad de una función de dos
variables en una región R
a)

x− y
f ( x, y ) =
x+ y

Puesto que las funciones racionales son continuas en
todos los puntos de su dominio, f es continuaen todos los
puntos del plano xy excepto en la recta y=-x.
b)

f ( x, y ) =

2
4 − x2 + y2

Derivada parciales de una función
de dos variables
¿Cómo afecta a la función un cambio en una desus
variables independientes?
¿Cómo hallar el ritmo de cambio de una función f con
respecto a una de sus variables independientes?

El procedimiento se llama derivación parcial y el
resultado sellama derivada parcial

Derivada parciales de una función
de dos variables
Si z=f(x, y), las primeras derivadas parciales de f con
respecto a x e y son las funciones fx y fy definidas:

f (...