Continuidad

Funciones multilineales alternadas

Notación. Dada una matriz A€ Knxn cuyas columnas son A1… An escribiremos A = (A1│A2 │ … │ An ).
Definición 5.1 Una función f : Knxn→ K se dice multilinealalternada (por columnas) si para cada 1 ≤ i ≤ n:

1. Si la j−´esima columna 1 ≤ j ≤ p de M está dada por Mj +Mj*, se tiene que:
det(M1M2...Mj+Mj*…Mp)=det(M1M2…Mj…Mp)+ det(M1M2…Mj*…Mp).

2. Sila j−´esima columna 1 ≤ j ≤ p de M está dada por λMj , donde λ € K se tiene que: det(M1M2 …λMj…Mp) = λdet(M1M2 …Mj…Mp)

3. Si Mj = Mj+1 para cualquier j tal que 1 ≤ j ≤ p − 1 entonces1 det(M) =0.(es decir, si la matriz A tiene dos columnas iguales, f(A) = 0).

Notar que los ítems 1 y 2 dicen que si f : Knxn→ K es multilineal, para cada columna i, una vez fijados los valores de las columnasrestantes, se obtiene una función lineal en la i.
A partir de esta definición, se encontraran propiedades adicionales de la función determinante y se ampliara el alcance de algunas de estaspropiedades iniciales.
Ejemplo:
a b
c d
Demuestre que:
f : Kn2x2→ K definida por f = ad - bc es multilineal alternada:

Para demostrar que es una función multilineal se tiene quecumplir los tres numerales antes descritos.

1.
a +a’ b
c +c’ d
f = (a + a’)d - b(c + c’) = ad + a’d – bc- bc’= ad-bc +(a’d- c’d)=

a’ b
c’ d

a +b
c + d

f + f

a + b
ma 5.3a unicidad de la funci¶¶ descritos
c + d
λ a b
λ c d

2. f = ad λ - b λ c = λ (ad -bc) = λ f

a + a
b + b

3. f = ab - ba = 0

Unicidad de determinantes
El siguiente lema que relaciona una función multilineal alternada definida en K(n+1)x(n+1)conotras definidas en Knxn seria la base para un argumento recursivo que nos permitiría probar la unicidad de la función determinante.

Lema Sea f : K(n+1)x(n+1) → K una función multilineal...