Continuidad

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CONTINUIDAD
Función continúa de un punto: Decimos que una función es continua en un punto, cuando la gráfica de esa función no se corta, no se interrumpe, no da un salto en ese punto.
EJ:

Definición: Sea f una función y a un punto de acumulación de su dominio; f es continua en a si y sólo si:
1. Existe F(a)
2. Existe y es finito el límite cuando x → a de F(x)
Esta condiciónimplica que existen los limites laterales de f en el punto a, y ellos son iguales.

3. El valor que determina la función en ese punto, es igual al límite en él.

Obsérvese que las tres condiciones que exige la continuidad de la función en un punto, se expresan en la siguiente igualdad:

Otra manera de poder comprender la definición de continuidad:

1. existe el límite por la derecha:

2.existe el límite por la izquierda:

3. La función tiene límite por la derecha y por la izquierda del punto x1

4. El límite por la derecha, el límite por la izquierda coinciden:

5. Si existen el límite por la derecha y por la izquierda y sus valores coinciden, la función tiene límite en este punto:

6. Existe f(x1):

7. El límite y el valor de la función coinciden:

Ejemplo:

F(x)= 2+x2 en X=2

1º f (2)= 2 + 22 = 6
2º Lim 2 + x2 = 2 + 22 = 6
X→2
3º F (2) = Lim f(x)
X→2

Entonces, la función es continua porque se cumple con las 3 condiciones dichas anteriormente.

ALGEBRA DE FUNCIONES CONTINUAS:

I. La suma y resta de un número finito de funciones definida en un mismo dominio D y continuas en elpunto “a”, es otra función continua en “a”.

II. El producto de un número finito de funciones definidas en un mismo dominio D y continuas en el punto “a”, es otra función continua en “a”.

III. El cociente f/g de dos funciones definidas en un mismo conjunto D, y continuas en el punto “a”, es otra función continua en “a” si: g(a) es distinta de 0.

IV. Es continua en x=asuponiendo que f(a) 0 (para que tenga sentido la potencia).

DISCONTINUIDADES

Si en un punto no se verifica alguna o algunas de las 3 condiciones exigidas para que la función sea continua en ese punto, se dice que ese punto es de discontinuidad.

EJ:

2
3

Discontinua en x=2 Discontinuidad en x=3

Puede suceder que:
a) Exista el Lim f(x)y no existir f(a).
b) Pueden existir el Lim f(x) y f(a) y ser distintos.
c) Pueden existir f(a) y no tener límite finito en ese punto.
d) Existan el límite y f(a) y sean iguales.
En el caso a), b) y c) la función será discontinua, y en el caso d) es el único caso que va a ser continua.

Estas situaciones dan lugar a las siguientes clasificaciones de discontinuidades:

L-
L+De Santo Finito
Evitable

L- ≠ L+

Discontinuidad

L- = L L- = ± ∞
O
L+ = ± ∞ L+ = L
Donde L es un nº finito

1º Especie
De Salto Infinito

Esencial

L+ = ± ∞
L- = ± ∞
Asintótica

2º Especie

L = ± ∞

Discontinuidad Evitable:
Es un tipo de discontinuidad en la que existe el límite y es finito, pero el valor dela función en el punto o no existe o es diferente del valor del límite. Se llama evitable porque podemos hacerla continua dándole a la función en el punto el valor del límite.

Ej.:
F(x) = x2 - 4
X - 2 en el punto x= 2

0
0

=
1º F (2) = 22 - 4
2 - 2

0
0
=
2º Lim x2 - 4
X→2 x - 2

Lim(X + 2) . (x – 2)
X→2 (X - 2)

Levantamos la indeterminación aplicando diferencia de cuadrados en el numerador y luego simplificamos. Para así, obtener el valor del límite:
2 + 2 = 4
=
Lim (X + 2)
X→2
=
=
Lim x2 - 4
X→2 x - 2

Se puede observa que es una discontinuidad evitable: existe...
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