continuidad

 CONTINUIDAD



FACULTAD DE INGENIERÍA



ANDRÉS CAMILO ARRAUTH GÓMEZ




ING: MARTHA INES POLO OSPINO



GRUPO: BD

UNIVERSIDAD DE LA COSTA
CALCULO DIFERENCIAL
BARRANQUILLA - COLOMBIA
2013





INTRODUCCIÓN

En esta unidad se presenta el concepto de continuidad de funciones. Esta unidad es continuación de las unidades referentes a límites de funciones ypropiedades de los límites.
En primer lugar se hace un acercamiento intuitivo al concepto de continuidad utilizando distintos ejemplos. Posteriormente se introduce el concepto riguroso de continuidad. La unidad termina con una clasificación de los distintos tipos de discontinuidades.



OBJETIVOS

Saber si una función es continua a partir de su gráfica.

Comprender de forma rigurosa elconcepto de continuidad de funciones.


Distinguir los diferentes tipos de discontinuidades tanto en forma gráfica como analítica
















1. CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Una función es continua en un punto si existe límite en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
Observación
La continuidad de f en x=a implica que se cumplan estas tres condiciones:a.- Existe el límite de la función f(x) en x=a.
b.- La función está definida en x=a, es decir, existe f(a).
c.- Los dos valores anteriores coinciden.
Si una función no es continua en un punto x=a, diremos que es discontinua en dicho punto.
Una función es continua por la derecha en un punto si existe el límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto. Unafunción es continua por la izquierda en un punto si existe el límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto.
EJEMPLO:
f(x)= y g(x) =










2. Continuidad de una función en un intervalo abierto

Una función es continua en un intervalo abierto o unión de intervalos abiertos si es continua en cada punto de ese conjunto.
Decimos que f(x) escontinua en (a, b) sí y sólo sí f(x) es continua   x  (a, b).
Ejemplo. 1
Analice la continuidad de la función: h(x) = en el intervalo (–1, 1).
Por ser una función racional, la función es continua en cada número real excepto los que anulan el denominador, x = 1 y x = -1. Como esos valores no pertenecen al intervalo, la función es continua en el intervalo (–1,1).
Ejemplo 2.
Función nocontinua en x=3, los limites laterales no coinciden.

3. ¿Cuándo se dice que una función es continua en todas partes?


La función es continua en todo ÏR



4. TRES CONDICIONES EN LA QUE LA GRÁFICA DE f NO ES CONTINUA EN X=c.

FIGURA 1
En este caso la funcion no es continua en X=c, por que f(c) no existe. Apreciese que hemos indicado este hecho con un punto blanco en la grafica.FIGURA 2 FIGURA 3

Estas tres graficas no existe continuidad en X=C


5. Cuando se dice que una función tiene una discontinuidad en c.
Si una función no es continua en un punto, se dice que es discontinua en ese punto o que no es continua en él.
Existen tres condiciones para que las gráficas de f no sean continua en x=c. estas condiciones son:1. La función no está definida en X=C.
2. No existe el límite de f(x) en x=c.
3. El límite de f(x) en x=c existe, pero no es igual a f(c)



6. Clase de discontinuidades
Los tipos de discontinuidad de funciones pueden ser evitables o discontinuidad de salto:

DISCONTINUIDAD EVITABLE












El valor de la función no coincide con el valor del límite.
En X=1 la imagen vale3 y el limite vale 1. Discontinuidad evitable.






DISCONTINUIDAD DE SALTO FINITO





EJEMPLO:

DISCONTINUIDAD DE SALTO INFINITO


EJEMPLO:


La función en X=5 tiene una discontinuidad de salto infinito.
Las funciones racionales tendrán una discontinuidad de salo infinito en aquellos valores de X donde no estén definidas.

7. Continuidad de una función en un intervalo...