continuidad

CONTINUIDAD



En la vida real se presentan diversas situaciones que pueden modelarse a través de una función, como por ejemplo:
Un atleta corre a velocidad constante. Desea conocer cuántos kilómetros debe recorrer para perder cierta cantidad de calorías.
Un turista viaja en avión. Pide información acerca de la tarifa que debe pagar por exceso de peso de equipaje, ya que pretende agregaralgunos menesteres.
Si se conocen algunos datos acerca de estos argumentos, se los puede interpretar gráficamente, dar respuestas y ofrecer otras alternativas.
¿Encontraría interrupciones en alguna de esas gráficas? ¡Sí, en la del turista!

Examine la presentación y luego cierre ese archivo.

En el lenguaje cotidiano decimos que un proceso sin interrupciones es continuo.


Antes deabordar el concepto de continuidad realice la Actividad1, que le ayudará a entenderlo.

Seguramente, después de realizar esta Actividad, advirtió que gráficamente, una función es continua en un intervalo cuando su gráfica no se “rompe” en dicho intervalo, es decir, se la puede trazar sin levantar el lápiz. Si bien por el momento sólo intuye esta noción a través de gráficos, más adelantetambién la detectará cuando la función esté expresada por una fórmula.
Para formalizar lo visto hasta el momento; comenzaremos por definir la continuidad de una función en un punto, para luego extender la idea a la continuidad en un intervalo.



Continuidad en un punto



Observe las siguientes gráficas




Note que esta definición lleva implícitas tres condiciones:1) Existe f (a)

2) Existe (finito)

3) = f (a)

Para analizar la continuidad de una función en un punto, deben estudiarse las tres condiciones y si se verifican todas, se puede asegurar que la función es continua en el valor de x considerado.



Si a no es unpunto de acumulación de su dominio, se conviene en considerar que f es continua en dicho punto si existe f (a).


Ejemplo

Sea f : R R / f(x) = x3.
Analicemos si f es continua en a = 2.

1) Existe f (2) = 8

2) Existe

3)
Se cumplen las tres condiciones de continuidad, luego la función es continua en a = 2.



Si f es continua ena, entonces = f , es decir, los símbolos de función y de límite pueden conmutarse.


Esto se puede visualizar en el ejemplo anterior (en donde se analizó que la función es continua en a = 2) del siguiente modo:
= 8
f = = 23 = 8


Ejemplo


Sea f (x) = sen x la función representada

gráficamente.Una simple inspección de dicha gráfica

permite comunicar que la función es

continua en , entonces

= = = sen = 1



Ejercicio 1

Sea f : R R / f (x) =

Analice si f es continua en:
a) x1 = 0
b) x2= 1

Para su ayuda, examine el gráfico de la misma.


a) Estudiemos qué sucede en x1 = 0.

Existe f (0) = 2

No Existe puesto que loslímites laterales
son distintos: y
No se cumple la segunda condición de continuidad (y
por ende tampoco la tercera), luego la función no es
continua en x1 = 0.

b) Estudiemos qué sucede en x2= 1.

Existe f (1) = 1

Existe

f (1) =
Se cumplen las tres condiciones de continuidad, luego la función escontinua en x2 = 1.



Ejercicio 2

Sea r : R  R / r x)
Analice si la función es continua

en x3 = 3.

Respuesta:
La función no es continua en x3 = 3







Ejercicio 3

Sea g : R  R / g (x) = 5.
Analice si la función constante
es continua en x3 = 2.
g(2) = 5



Se cumplen las tres condiciones de
continuidad, luego la función...