CONTINUIDAD

Continuidad



f(x)=x2
Intuitivamente, la continuidad significa que un pequeño cambio en la variable x implica sólo un pequeño cambio en el valor de f(x), es decir, la gráfica consiste de unsólo trozo de curva.

  
f(x)=sgn x
En contraste, una gráfica como la de la función f(x) = sgn x (signo de x) que consiste de pedazos de curva separados por un vacío en una abcisa exhibe allí unadiscontinuidad.
La continuidad de la función f(x) para un valor a significa que f(x) difiere arbitrariamente poco del valor f(a) cuando x está suficientemente cerca de a.
Expresemos esto en términosdel concepto de límite...
Definición
Continuidad
Una función f(x) es continua en un punto a si limx->af(x) = f(a).
Nota: observar que debe existir f(a) y debe existir el limx->a f(x) y debe serigual a f(a).
Ejemplos de discontinuidad

f(x)= 1/x2

Discontinua en x=0 (No existe f(0))


   
f(x) = x2 si x 2 

Discontinua en x=2.

Si bien existe f(2), no existe limx->2f(x),pues limx->2-f(x)=4 y limx->2+f(x)=0
Sin embargo, si miramos la función para x próximos a 2 pero menores, e ignoramos los x mayores que 2, la función es continua en 2 "por la izquierda".
DefiniciónContinuidad por la izquierda
Una función f(x) es continua por la izquierda en el punto a si existe f(a) y limx->a-f(x) = f(a).
Definición
Continuidad por la derecha
Una función f(x) es continua por laderecha en el punto a si existe f(a) y limx->a+f(x) = f(a).
La función anterior es continua por la izquierda en x=2, pero no por la derecha.
Definición
Continuidad en un intervalo cerrado [a,b]
Unafunción f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b] si:
f es continua en a por la derecha
f es continua en b por la izquierda
f es continua en x, para todo x perteneciente al intervalo abierto(a,b)
Clasificación de discontinuidades
Evitable
Caso A:
No existe f(a) pero existe limx->af(x).
Ejemplo:

  
f(x)= e-1/x2 + 2
No existe f(0) pues anula un denominador.
limx->0-f(x) =...