Contrabando

Formulario de
Geometria Analitica
Ing. Fernando Frutos

Sistemas de ejes coordenados

Formulario
.....................................................................................
Distancia entre dos puntos: La longitud D del segmento PQ siendo P(x p , y p ) y
Q(x q , yq ), es:
D=

(x q − x p )2 + (yq − y p )2

Punto de división: Las coordenadas del punto M (x m , y m ) quedivide al segmento
PQ con P(x p , y p ) y Q(x q , yq ), en la razón r son:
xm =

r xq + x p

ym =

1+r

r yq + y p
1+r

¯ ¯
Punto medio: Las coordenadas del punto medio M (x , y ) del segmento PQ con
P(x p , y p ) y Q(x q , yq ), son:
¯
x=

xq + x p

¯
y=

2

yq + y p
2

Pendiente: La pendiente m de la recta pasa por los puntos P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ), es:
m=

y2− y1
x2 − x1

Condición de paralelismo: Si m 1 y m 2 son las pendientes de las rectas
tonces, m 1 = m 2 implica que 1 2 .

1

y

2,

en-

Condición de perpendicularidad: Si m 1 y m 2 son las pendientes de dos rectas
2 perpendiculares ( 1 ⊥ 2 ), entonces,
m1 = −

1, 2,

con pendientes m 1

m2 − m1
1 + m1 · m2...................................................................................

Fernando Frutos

y

1
m2

Ángulo entre dos rectas: Si φ es el ángulo entre las rectas
y m 2 respectivamente, entonces:
tan φ =

1

Geoman

La línea recta

Formulario
.....................................................................................
Ec. Recta F. Punto-pendiente: La recta pasa por el punto P(x 1 , y 1 ) con pendiente
m:
y − y 1 = m (x −x 1 )
Ec. Recta F. Dos puntos: La recta pasa por los puntos P(x 1 , y 1 ) y Q(x 2 , y 2 ):
y − y1 =

y2 − y1
x2 − x1

(x − x 1 )

Ec. Recta F. Pendiente-ordenada al origen: La recta tiene pendiente m y corta al
eje y en el punto B (0,b ):
y = m x +b
Ec. Recta F. Simétrica: Las intersecciones con los ejes son A(a , 0) y B (0,b ):
x y
+ =1
a b
Ec. Recta F. General: La ecuación decualquier recta se puede escribir con:
A x + B y +C = 0
donde A y B no son simultáneamente cero.
Ec. Recta F. Normal: Útil para calcular la distancia de un punto a una recta:
A
A2 + B 2

x+

B
A2 + B 2

y+

C
A2 + B 2

=0

Distancia de un punto a una recta: La distancia del punto P(x 1 , y 1 ) a la recta
A x + B y + C = 0, es:
A x 1 + B y1 + C
DP =
A2 + B 2

:....................................................................................

Fernando Frutos

Geoman

La circunferencia

Formulario
.....................................................................................
Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el origen y radio r :
x2 +y 2 = r2
Ec. Circunferencia F. ordinaria: Centro en el punto C (h, k ) y radio r :
(x − h)2 + (y − k)2 = r 2
Ec. Circunferencia: Forma general:
x2 +y 2 +D x + E y + F = 0
Si el centro de la circunferencia es el punto C (h, k ) y su radio es r se cumple:
D

=

−2 h

E

=

−2 k

F

=

h2 + k 2 − r 2

....................................................................................

Fernando Frutos

Geoman

La Parabola

Formulario.....................................................................................
Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el origen:
x 2 = 2 py
Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo.
Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h, k ):
(x − h)2 = 2 p (y − k )
Si p > 0 la parábola abre hacia arriba. Si p < 0 abre hacia abajo.
Ec. Parábola horizontal F. ordinaria: Vérticeen el origen :
y 2 = 2px
Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda.
Ec. Parábola vertical F. ordinaria: Vértice en el punto V (h, k ):
(y − k )2 = 2 p (x − h)
Si p > 0 la parábola abre hacia la derecha. Si p < 0 abre hacia la izquierda.
Otras fórmulas: Parábola con vértice en el punto V (h, k ):
Parábola

Vertical

Horizontal

Lado Recto
Foco...