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MATEMATICAS III
INTEGRALES EN LINEA

CATEDRATICO
ING. DANIEL CHAPA

INTEGRANTES:
Cesar aron Enríquez Díaz
Uriel Ramiro Pérez Rodríguez
Fabián ortega
Mario Alberto estrada cárdenas

Integrales de Línea
Curvas Suaves a Trozos (o Por Partes)
Una propiedad clásica de los campos gravitatorios (o gravitacionales), es que sujeto a ciertas restricciones físicas, el trabajo realizado porla gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una de las restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos (o por partes). Recuérdese que una curva plana C dada por

Es suave si

Son continuas en [a,b] y no simultáneamente 0 en (a,b), una curva C es suave a trozos (o por partes) si el intervalo[a,b] puede dividirse en un número infinito de subintérvalos, en cada uno de los cuales C es suave.
EJEMPLO 1. Hallar una parametrización suave a trozos
Hallar una parametrización suave a trozos de la grafica C que se muestra en la figura 15.7.

Solución. Como C consta de tres segmentos de recta C1, C2 y C3, se puede construir una parametrización suave de cada segmento y unirlas haciendo queel último valor de t en CI+1, como se muestra a continuación.
C1 : x(t) = 0, y(t) = 2t, z(t) = 0,
C2 : x(t) = t – 1, y(t) = 2, z(t) = 0,
C3 : x(t) = 1, y(t) = 2, z(t) = t – 2,

Por tanto C está dada por
2tj,
r(t) = (t – 1)i + 2j,
i + 2j + (t - 2)k,
Como C1, C2 y C3 son suaves, se sigue que C es suave a trozos.
Recuérdese que la parametrización de unacurva induce una orientación de la curva. Así, en el ejemplo 1, la curva está orientada de manera que la dirección positiva va desde (0, 0, 0), siguiendo la curva, hasta (1, 2, 1). Trátese de obtener una parametrización que induzca la orientación opuesta.

Integrales de Línea
Hasta ahora, en el texto, se han estudiado varios tipos de integrales. En una integral simple
Se integra sobre elintervalo [a,b]
Se integro sobre el intervalo [a,b]. De manera similar en las integrales dobles
Se integra sobre la región R
Se integro sobre la región R del plano. En esta sección, se estudia un nuevo tipo de integral llamada integral de línea.
Se integra sobre una curva C
En la que se integra sobre una curva C suave a trozos. (Esta terminología es un poco desafortunada; este tipode integral quedaría mejor descrita como “Integral de Curva”.).
Para introducir el concepto de una integral de línea, considérese la masa de un cable de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La Densidad (masa por unidad de longitud) de cable en el punto (x, y, z) esta dada por f(x, y, z). Se divide la curva C mediante los puntos
P0, P1, . . . Pn
Produciéndose en sub. arcos comose muestra en la figura 15.8

La longitud de i-ésimo subarco está dada por . A continuación, se elige un punto (xi, yi, zi) en cada subarco. Si la longitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por la suma
Masa del Cable
Si denota la longitud del subarco mas largo y se hace que se aproxime a 0, parece razonable que el límite de esta suma se aproxime a lamasa del cable. Esto lleva a la definición siguiente.
Definición de Integral en Línea
Si f esta definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces la integral de línea de f a lo largo de C ésta dada por
Plano
o
Espacio
Siempre que este límite exista.




Como sucede con las integrales vistas en el capítulo 14, para evaluar una integralde línea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que si f es continua, el límite dado arriba existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C.
Para evaluar una integral de línea en una curva plana C dada por r(t) = x(t)i + y(t)j se utiliza el hecho de que

Para una curva en el espacio hay una fórmula similar, como se indica en el...
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