Control pid

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UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA DEPARTAMENTO DE ELECTRÓNICA

Tarea 3 “Control Automático I”

Nombre: Jorge A. Tapia Valdés Rol USM: 2504171-2 Profesor: Mario Salgado B. Ramo: Control Automático I.

Enunciado. Estudie el artículo “PID Control System Analysis and Design"de Yun Li, K.H. Ang, Gregory Chong (disponible en sitio web). Considere la Planta 4 de la Tabla 3, con los casos a= 0.2, a= 2 y a = 10 allí incluidos. Compruebe que se obtiene los márgenes que aparecen en la tabla 3, para cada uno de los tres valores de a indicados. Desarrollo. Según la tabla 3, planta 4, se tienen los siguientes parámetros de la ecuación característica de PID para distintos valores de a: Valor de a 0.2 2 10 Kp 0.3 1.04 1.65 Ti 0.59 3.49 16.35 Td 0.17 0.49 1.59

Tabla 1: Parámetros quedependen de a

Las plantas y controladores, tienen en común una misma estructura, que es la siguiente, cambiando el valor de a y las constantes para cada caso: Go( s ) = e −s (a ⋅ s + 1)2

Ecuación 1: Planta

Kp ⋅ Ti ⋅ Td ⋅ s 2 + Kp ⋅ Ti ⋅ s + Kp C (s) = Ti ⋅ s
Ecuación 2: Controlador

Al reemplazar el valor de “a” y los demás parámetros del controlador PID según el valor de a, en cadaecuación de Planta y Controlador mostrados anteriormente obtenemos las siguientes ecuaciones: Para un a = 0.2 tenemos la siguiente planta y controlador: Go( s ) =

(0.2 ⋅ s + 1)2

e −s

Ecuación 3: Planta con a=0.2

C ( s) =

0.03 ⋅ s 2 + 0.177 ⋅ s + 0.3 0.59 ⋅ s

Ecuación 4:Controlador con a=0.2

Para a = 2 tenemos la siguiente planta y controlador: e−s Go( s ) = (2 ⋅ s + 1)2
Ecuación5: Planta con a=2

C ( s) =

1.778 ⋅ s 2 + 3.63 ⋅ s + 1.04 3.49 ⋅ s

Ecuación 6: Controlador con a=2

Para a = 10 tenemos la siguiente planta y controlador: Go( s ) = e−s (10 ⋅ s + 1)2

Ecuación 7:Planta con a=10

42.894 ⋅ s 2 + 26.97 ⋅ s + 1.05 C ( s) = 16.35 ⋅ s
Ecuación 8: Controlador con a=10

2.Para calcular los márgenes de error, fase y magnitud, utilizaremos el método gráficoa partir de los diagramas de bode de Go(s)C(s) en cada caso. El margen de fase se estima cuando la magnitud de Go(s)C(s) es 0 [db] (magnitud unitaria) y corresponde a 180º sumado al ángulo al cual la magnitud es unitaria; el margen de ganancia lo estimamos midiendo la ganancia a -180º de fase para Go(s)C(s). La herramienta para la resolución del problema la proporciona Matlab, pues permitedesplegar diagramas de bode a analizar, y utilizando el siguiente código en el editor de Matlab obtenemos los diagramas de bode: Para distintos valores de a tenemos los siguientes diagramas de bode: Para a=0.2 tenemos el siguiente diagrama de bode:

Figura 1: Bode con a=0.2

Para a=2 el siguiente diagrama de bode:

Figura 2: Bode con a=2.

Para a=10 el siguiente diagrama de bode:

Figura 3:Bode con a=10

Finalmente el valor de los parámetros quedan de la siguiente manera:
a 0.2 2 10 Kp Ti Td GM(dB) 0.3 0.59 0.17 10.4 1.04 3.49 0.49 14.8 1.65 16.35 1.59 32.9 Tabla 2: Resumen de valores de parámetros PID PM(º) 66.2 62 61.9

3.-

Los diagramas de las simulaciones son las siguientes:

Figura 4: Diagrama de bloques PID, Simulink

Este se podia hacer de dos formas, haciendomanualmente el bloque PID de simulink con bloques integrativos y derivativos, y todos los bloques necesarios, y de la forma en que se ilustra arriba en la figura. Para los primeros valores de la tabla antes mencionada, se obtiene la siguiente grafica de respuesta de y(t) a una perturbación de escalon unitario:
a 0.2 Kp Ti Td GM(dB) 0.3 0.59 0.17 10.4 Tabla 3: Resumen de parámetros con a=0.2 PM(º)66.8

Figura 5: Respuesta de y(t) con perturbación escalón 1.

De la grafica anterior podemos concluir que: se obtiene un overshoot razonablemente bueno, cerca del 65%. No presentas undershoot. Tiempo en llegar a la referencia es igual a 5 segundos. Error estacionario igual a cero.

Para un valor de a=2 tenemos la siguiente grafica, con su tabla de valores correspondiente:
a 2 Kp Ti Td...
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