Control tarea 3 observadores

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CONTROL TAREA 3
Universidad Nacional de Colombia
César Augusto Herrera Llinás 260885

1.
2. Realimentación de Estado

Imagen 1. Sistema para analizar

Lo primero que vamos a hacer es el desarrollo en variables de estado del sistema, tomando X1 como la velocidad del sistema (la salida), y a X2 como el torque del motor.

Como las perturbaciones externas son cero en este caso,podemos replantear el sistema de la siguiente forma

Imagen 2. Sistema replanteado.

En la imagen 2 podemos ver claramente que el sistema presenta una configuración serie. Por lo tanto podemos representarlo con el sistema de ecuaciones mostrado a continuación.

Con las ecuaciones que nos describen el comportamiento de cada una de las variables de estado podemos hacer la representación en SS delsistema.

Teniendo la representación en variables de estado del sistema en lazo abierto podemos hablar de su estabilidad. Para esto nos referiremos a la representación en funciones de transferencia del sistema. Todos los polos se encuentran sobre el semiplano izquierdo del plano complejo.

Continuando con el análisis de estabilidad del sistema en funciones de transferencia podemos mirar larespuesta al paso del sistema

Imagen 3. Respuesta al impulso del sistema en lazo abierto.

Como podemos ver el sistema tiene un tiempo de respuesta alto al tener un polo dominante muy lento; el valor de estado estable es de 33.32. la constante de tiempo está dada por la expresión

Sabiendo que el menos polo están en -1/3, podemos decir que la constante de tiempo es 3.

Como podemos ver elsistema es de orden 2. Ahora se quiere implementar un controlador de realimentación de estados que logre darnos una respuesta críticamente amortiguada y una constante de tiempo de 1.5 ambas condiciones en lazo cerrado.
Como sabemos los sistemas de segundo orden se representan generalmente de la forma

Para cumplir las condiciones de amortiguamiento debemos cumplir que

Y además sabemos quePodemos decir que el sistema de segundo orden al que queremos llegar es el siguiente:

Como ya conocemos el polinomio deseado podemos plantear el sistema con realimentación de estados de la siguiente forma

Imagen 4. Sistema con realimentación de estados.

Una vez teniendo el sistema realimentado calculamos la función de trasferencia de lazo cerrado utilizando la formula de Mason.

Dela ecuación anterior tenemos que


De donde obtenemos que los valores son:

K2=0.01

K1=0

Ahora si lo hacemos por realimentación de estados en representación SS tenemos que obtener el mismo resultado.

De la ecuación anterior podemos decir que

De donde obtenemos que los valores son:

K1=0.01

K2=0

Y el pre-filtro está definido F*33.22=1, por lo tanto podemos decir queF= 1/33.22 = 0.03

Imagen 5. Sistema con realimentación de estados

Imagen 6. Respuesta al impulso del sistema con realimentación de estados.

Ahora pasaremos a diseñar un controlador PI vectorial con las mismas características.

Ya con las nuevas matrices definidas hacemos un procedimiento parecido al de la realimentación de estados.

Teniendo esto podemos determinar nuestro polinomiodeseado. Como queremos el mismo comportamiento que se tenía con el controlador pasado, lo que vamos a hacer es dejar los polos del polinomio pasado como dominantes y poner un polo rápido que no convierta el sistema en uno de orden 3 pero que no nos altere la respuesta del sistema.

Conociendo el polinomio deseado y el característico del sistema podemos hallar los valores de K.

De lasecuaciones anteriores obtenemos que

K1= 2.73

K2= 12

K3= -0.4

Imagen 7. Sistema con control PI Vectorial.

Imagen 8. Respuesta PI Vect. Con Ki=0.4

Imagen 9. Respuesta PI Vect. Con Ki=1

Imagen 10. Respuesta PI Vect. Con Ki=6

Como podemos ver el valor de Ki calculado no es muy acertado, esto se debe a la gran libertar que se tiene para seleccionar los polos del sistema controlado,...
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