Control

4. Análisis de la respuesta en el tiempo
La respuesta en el tiempo de un sistema consiste de 2 partes: • Respuesta transitoria: parte de la respuesta total que tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito. • Respuesta estacionaria o permanente: parte de la respuesta total que no tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

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Se define elorden de un sistema cuya función de transferencia es n( s ) G(s) = d (s) como el grado del polinomio denominador d(s).

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Señales de prueba típicas


Escalón unitario
y(t) 1



Rampa
r(t)

t

t
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Señales típicas de entrada


Entrada función parábola
p(t)

t

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4.1Sistemas de primer orden
Considere un sistema de primer orden, cuya función de transferencia es
Y ( s) 1 G(s) = = U ( s) Ts + 1

a) Respuesta al escalón unitario, u (t ) = 1, t ≥ 0.
y (t ) = 1 − e − t / T A la constante T se le conoce como la constante de tiempo del sistema.

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b) Respuesta a la rampa, u(t)=t.
y (t ) = t −T + Te − t / T

c) Respuesta al impulso, u(t)=δ(t).
1 − t /T y (t ) = e T

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Observe que la respuesta a la derivada de una señal de entrada puede obtenerse derivando la respuesta a la señal original (esto solo se cumple para sistemas invariantes en el tiempo).

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4.2 Sistemas de segundo orden
Considere que la función de transferencia de un sistema de segundo orden es de la forma
ωn Y ( s) = 2 U ( s) s + 2δ ω n s + ω n 2
2

donde ω n es conocida como la frecuencia natural del sistema, y δ es el coeficiente de amortiguamiento.

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La dinámica del sistema depende de la ubicación de los polos de lafunción de transferencia, los cuales están dados por
− δω n ±ω
n

δ 2−1

Dependiendo del valor de δ podemos tener los siguientes 3 casos: • 0 < δ < 1, polos complejos conjugados en la parte izquierda del plano complejo. En este caso se dice que el sistema es subamortiguado.

∀ δ=1, polo real repetido. Se dice que el sistema tiene amortiguamiento crítico. ∀ δ > 1, polos reales distintos. Elsistema se dice sobreamortiguado.
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Respuesta al escalón unitario, u(t)=1. 1. Caso subamortiguado (0 < δ < 1, polos complejos conjugados).
δ   y (t ) = 1 − e cos ω d t + sen ω d t   1− δ 2    e − δ ω nt 1− δ 2  = 1− sen  ω d t + tan − 1  2 δ 1− δ  
− δ ω nt

donde ω = ω 1 − δ 2 es conocida como la frecuencia d n natural amortiguada del sistema.

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2. Amortiguamiento crítico (δ = 1, polo real repetido en − ω n )
y (t ) = 1 − e − ω nt (1 + ω nt )

•

Caso sobreamortiguado (δ > 1, polos reales distintos)

ω n  e − s1t e − s2t  y(t ) = 1 +  s − s  2 2 δ − 1 1 2 
donde
s1 = (δ +

δ 2 − 1)ω n ,

s2 = (δ − δ 2 − 1)ω n

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Respuesta en el tiempo

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4.3 Especificaciones de la respuesta en el tiempo
Se definen las siguientes especificaciones de la respuesta en el tiempo (ver siguiente figura): • Tiempo de retardo td : tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por primera vez la mitad del valor final. • Tiempo de crecimiento t : tiempo requerido para que la r respuesta crezcadel 10% al 90% (sobreamortiguado), del 5% al 95%, o del 0 al 100% (subamortiguado) de su valor final. • Tiempo de pico t : tiempo requerido para que la respuesta p alcance el primer pico del sobreimpulso.

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Respuesta en el tiempo
Porcentaje de sobretiro= =(Ymax-1)x100% ess +/- 10% Tiempo de establecimiento

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