Control

Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad
Definición: Llamamos experimento aleatorio o estocástico a aquel que realizado en idénticas circunstancias nunca
podemos predecir los resultados. Como por ejemplo: lanzar un dado; extraer una carta.
En caso contrario el experimento se llama determinista. Por ejemplo: caída libre.
Definición: A cada una de las veces que repetimos un experimentoaleatorio la llamamos prueba.
Definición: Al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral (E).
Definición: Llamamos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. En el ejemplo de “lanzar un dado”:
E={1,2,3,4,5,6}
Sucesos: A={salir 1}
B={salir par}={2,4,6}
C={1,2,3,4,5,6}=E
D={Æ}
Tipos de sucesos:
· Suceso elemental: compuesto por un soloelemento muestral. Ejemplo: A
· Suceso compuesto: formado por 2 o más puntos muestrales. Ejemplo: B
· Suceso cierto o seguro: siempre se verifica  coincide con el espacio muestral. Ejemplo: C
· Suceso imposible: nunca se verifica  Æ. Ejemplo: D
Definición: Dado un suceso cualquiera A, llamamos suceso opuesto, contrario o complementario A ó AC a aquel
que se verifica cuando no se verifica A.Ejemplo: “lanzar un dado”
A={salir par}={2,4,6}
AC ={salir impar}={1,3,5}
Operaciones con sucesos:
 Inclusión: diremos que A está incluido en B, o que A implica B si cuando se verifica A entonces también se
verifica B. Ejemplo:
B={salir par}; A={salir 4}
 Igualdad: diremos que A es igual a B si A está incluida en B y B está incluida en A (A=B). Ejemplo:
A={salir par}
B={salir 2,4,6}
Unión: dados 2 sucesos A y B, llamamos unión de A y B ( A È B) a otro suceso que se verifica si se verifica
A ó se verifica B. Ejemplo:
A={salir par}={2,4,6}
B={salir primo}={2,3,5}
A È B ={2,3,4,5,6}
 Intersección: dados 2 sucesos A y B, llamamos intersección de A y B ( A Ç B) a otro suceso que se verifica
si se verifica A y se verifica B. Ejemplo:
A={salir par}={2,4,6}
B={salirprimo}={2,3,5}
A Ç B ={2}
Definición: Diremos que A y B son sucesos incompatibles si AÇ B =Æ (no se verifican simultáneamente)
 Diferencia: dados 2 sucesos A y B, llamamos diferencia de A y B ( A - B) a otro suceso que se verifica
cuando se verifica A y no se verifica B. A - B = A Ç B
Ejemplo:A={salir par}={2,4,6}
B={salir primo}={2,3,5}
A–B={4,6}
B–A={3,5}
1
 Diferencia simétrica: dados 2sucesos A y B, llamamos diferencia simétrica de A y B ( AD B) a otro suceso
que se verifica A y no se verifica B ó se verifica B y no se verifica A.
AD B = ( A È B) - ( A Ç B) = (A È B ) - (B Ç A) = ( A - B) È (B - A)
Ejemplo:A={salir par}={2,4,6}
B={salir primo}={2,3,5}
AD B = {3,4,5,6}
Definición: Diremos que n sucesos de un espacio muestral E; A1,A2,...,An forman un sistema completo desucesos si:
1. 
n
i
i A E
= 1
=
2. A A i j i j Ç = 0 ¹
 Propiedades :
I. Conmutativas:
A B B A
A B B A
Þ Ç = Ç
Þ È = È
II. Asociativas:
( ) ( )
A (B C) ( A B) C
A B C A B C
Þ Ç Ç = Ç Ç
Þ È È = È È
III. Idempotentes:
A A A
A A A
Þ Ç =
Þ È =
IV. Distributivas:
( ) ( ) ( )
A (B C) ( A B) ( A C)
A B C A B A C
Þ Ç È = Ç È Ç
Þ È Ç = È Ç È
V.
E A A
A E E
Þ Ç =
Þ È =
VI.Þ Ç Æ = Æ
Þ È Æ =
A
A A
VII.
Þ Ç = Æ
Þ È =
A A
A A E
VIII.
A A
E
E
Þ =
Þ Æ =
Þ = Æ
IX. Leyes de Morgan:
A B A B
A B A B
Þ Ç = È
Þ È = Ç
Introducción al concepto de probabilidad
“Probabilidad es la medida de la incertidumbre asociada a un suceso”
Definición: Llamamos probabilidad de un suceso A al valor entorno al cual tiende a estabilizarse la frecuencia
relativa delsuceso A cuando se repite un nº suficiente de veces.
n
P A f nA
n® + ¥ a n® ¥
( ) = lim = lim
Definición axiomática de Kolmogorov:
2
Definición: Llamamos función de probabilidad a una aplicación del espacio de sucesos (W).
( )
:
A P A
P

W ® Â
que cumple 3 axiomas:
3 ( ) ( ) ( )
2 0 ( ) 1
1 ( ) 1
Si A y B incompatibles P A B P A P B
P A
P E
- È = +
- £ £
- =
Consecuencias:...