Controlabilidad y observabilidad

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Controlabilidad y Observabilidad del Estado-Espacio

TEORIA DE CONTROL IV

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD
Se dice que un sistema es controlable en el instante t0 si es posible llevarlo de cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, empleando un vector de control no acotado, en un lapso finito. Se dice que un sistema es observable en el tiempo t si, con el sistemaen el estado x(t ), es posible determinar dicho estado a partir de las mediciones de la salida con un retaso finito de tiempo. El trabajo pionero de R. Kalman en el año de 1960 introdujo los conceptos de controlabilidad y de observabilidad, que juegan un papel fundamental en el diseño de los sistemas de control usando las técnicas de estado espacio. En efecto, las condiciones de controlabilidad yde observabilidad determinan la existencia de una solución completa para el problema del diseño de un sistema de control. Tal vez no exista una solución a este problema si el sistema estudiado es no controlable. Aunque la mayoría de los sistemas físicos son controlables y observables, los modelos matemáticos correspondientes pueden no tener la propiedad de controlabilidad o de observabilidad. Ental caso, es esencial conocer las condiciones bajo las cuales un sistema controlable y observable. Veremos primero la controlabilidad y dejaremos el análisis de la observabilidad para el final. A continuación, se obtendrá primero la condición para la controlabilidad completa del estado y enseguida se determinará la condición para la controlabilidad de la salida. Controlabilidad completa del estadopara sistemas en tiempo continuo Consideremos al sistema en tiempo continuo:
x


=

Ax

+

Bu

en donde

x = vector de estado (vector de orden n) u = vector de control ( de orden r) A = matriz de orden n x n B = matriz de orden n x r

Se dice que el sistema dado por la ecuación anterior es de estado controlable en t = t0 si es posible construir r señales de control sin restricciónalguna que transfieran un estado inicial a cualquier otro estado finito en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1 Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable. Ahora obtendremos la condición para una controlabilidad completa del estado. Sin perder la generalidad, suponemos que el estado final es el origen en el espacio de estados y que eltiempo inicial es cero, o t0 = 0. La solución de la ecuación anterior es

Profr. Salvador Saucedo

Grupo 9A4M

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x(t )

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= e At x(0) + e A (t − τ ) Bu (τ )dτ
0

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t

Aplicando la definición de controlabilidad completa del estado recién establecida, tenemos
x(t1 ) = 0 = e At1x(0) +



t1

0

e A (t1 − τ ) Bu(τ )dτ

o bien
x ( 0) = −



t1

0

e − A τ Bu (τ )dτ

Refiriéndonos al teorema de Cayley-Hamilton, podemos escribir e-Aτ como
e − Aτ =

∑α
k =0

n −1

k

(τ ) A k

(3)

Sustituimos e-Aτ de (3) en (2) por lo que
x(0) = Definamos −

∑ A B∫
k k =0

n −1

t1

0

α k (τ )u(τ )dτ

(4)



t1

0

α k (τ )u(τ )dτ=

Uk

donde cada Uk es un vector columna de orden r Así, la ecuación (4) se convierte en
x(0) = −

∑ A BU
k k =0

n −1

k

=

 U0  U  − B M AB M L M A n −1 B  1   M    U n −1 

[

]

(5)

Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces dado cualquier estado inicial x(0), la ecuación (5) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de lamatriz de n filas y nr columnas

[B M

AB M L M A n −1 B

]
Grupo 9A4M I – página 2 de 26

Profr. Salvador Saucedo

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sea de rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes. La matriz
M =

[B M

AB M L M A n −1 B

]

recibe el nombre de matriz de controlabilidad....
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