Convergencia puntual de series de fourier

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CONVERGENCIA PUNTUAL DE LAS SERIES DE FOURIER

NÚCLEO DE DIRICHLET
Sea [pic], definiremos la suma parcial de la Serie de Fourier de [pic] por
[pic]
(llamado también polinomio trigonométrico de grado N). Nuestro problema es determinar la convergencia puntual de esta sucesión.
LEMA: [pic] entonces [pic]
Prueba
Usando la identidad trigonométrica [pic]; hacemos [pic], tenemos:[pic]
sumando miembro a miembro:
[pic]
OBSERVACION.
Si [pic][pic]
DEFINICION: Llamaremos a la función [pic],[pic]; Núcleo de Dirichlet y se definida por
[pic]
PROPIEDADES
1. [pic] es una función periódica de período [pic]
2. [pic] es una función PAR:
3. [pic]
4. Como [pic] es de período [pic], podemos expresar que:
[pic] = [pic]
5. [pic]
LEMA DE RIEMANN-LEBESGUE
Si [pic] esintegrable y [pic] (no necesariamente entero),
[pic]
( implica que los coeficientes de Fourier de [pic] integrable tienden a cero)
DEMOSTRACION:
Caso I: Si [pic] continua en [pic].
Consideremos [pic], [pic] suficientemente grande, tal que
[pic]
Luego
[pic]
Similarmente tenemos
[pic]
Sumando miembro a miembro tenemos
[pic]
Como [pic] es continua en [pic] entonceses acotada, luego existe una constante [pic] tal que [pic] y [pic]; por lo tanto
[pic]
De la continuidad de [pic]en [pic] tenemos que [pic] es uniformemente continua en [pic]; de donde existe [pic], tal que [pic] tenemos que [pic]
[pic]Considerando que [pic] y [pic], además se cumple [pic]se concluye que para cada [pic] existe [pic] tenemos [pic]
Por lo tanto [pic]
Caso II. Si [pic]continua en el intervalo abierto [pic]
Como [pic] es continua por partes, y si [pic]son finitos; usaremos la función extensión continua [pic]definida por
[pic]
la cual es continua en el intervalo [pic]. Luego por el caso I se verifica el Lema.
Caso III: Si [pic] continua por partes en el intervalo abierto [pic]
Sea [pic] discontinuia en los puntos [pic].Consideremos la función [pic] continua en cada [pic]entonces por el caso I, tenemos que [pic]para [pic] por lo tanto [pic]

LEMA DE DIRICHLET
Sea [pic]una función real y continua en [pic] entonces la suma de los n primeros términos de la serie de fourier de [pic] esta dado por
[pic]
Demostración
Si [pic], la suma parcial de la Serie de Fourier de [pic] es[pic]………………………….
donde [pic][pic]
reemplazando estos valores en las ecuación tenemos:
[pic]
[pic]
Por lo tanto:
[pic]
Equivalente a
[pic] [pic]
TEOREMA
Sea [pic] una función integrable en [pic] que tiene derivada en el punto [pic]. Entonces, la serie de fourier de [pic]converge a [pic]([pic]) en [pic] .
DEMOSTRACIÓN
Como [pic] es derivable en[pic] tenemos que [pic]
Luego definimos la función
[pic] y [pic]
Luego
[pic]

TEOREMA DE RIEMANN
Sea [pic] una función real definida en [pic], periódica de período [pic] y continua por partes en [pic]. Entonces en todo punto [pic] donde [pic] tiene derivadas laterales finitas, la serie de fourier asociada a [pic] converge a [pic]
DEMOSTRACION
Consideremos la serie de fourier asociada a[pic]por
[pic]
donde las [pic] son los coeficientes de fourier. Por Lema anterior tenemos que la suma de los N primeros términos de la serie de fourier es dado por
[pic]
haciendo [pic]: Si [pic], si [pic]; entonces
[pic]
De donde tenemos que
[pic]
La existencia de la derivada en un punto[pic]exige la continuidad en ese punto. Si la función tiene una discontinuidad de salto en [pic], se puede cubrir suponiendo que existen los limites laterales [pic] en el punto; definimos las derivadas laterales en el punto como
[pic]
cuando los limites existen.

i) El cálculo de los dos límites son similares. Para determinar el segundo límite, definimos la función [pic]
Considerando que...
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