Coordenadas Cartesianas

INDICE SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS DEL PLANO.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS La idea inicial de lo que hoy conocemos como sistema de coordenadas se debe a dos franceses: al abogado, Pierre de Fermat y al filósofo, matemático y físico, René Descartes quien pensaba que las matemáticas eran la clave para descubrir lossecretos del universo. Las coordenadas se conocen como cartesianas, precisamente en honor a Descartes. En el tema anterior, establecimos un sistema de coordenadas en la recta real de tal manera que a cada punto de la recta le hicimos corresponder uno y solo un punto de la recta y, a su vez, a cada número real (llamado la coordenada del punto) le hicimos corresponder uno y solo un punto de la recta.Si tomamos dos copias de la recta real, una horizontal y la otra vertical, y hacemos que estas se corten (o intercepten) en un punto, estableceremos un sistema de coordenadas en el plano, Las dos rectas se conocen como ejes coordenados. Estos se interceptan en el punto O, al que se le llama origen del sistema La recta horizontal se representa con la letra X y se le llama eje de abscisas a su vez,la recta vertical se representa con la letra Y y se le llama eje de ordenadas. Se establece, además, que la mitad positiva de los eje X e Y están a la derecha y arriba, respectivamente, y la mitad negativa de estos mismos ejes están a la izquierda de X y abajo de Y. Por otro lado, los ejes coordenados dividen al plano en cuatro regiones. Estas se conocen como CUADRANTES y se representan, ensentido antihorario, como I, II, III y IV. Todos estos elementos puedes visualizarlos en la figura siguiente

Al igual que en la recta, podemos establecer una relación uno a uno entre los puntos del plano y los pares ordenados de números reales del tipo (a,b), de tal manera que “a cada punto del plano le corresponde uno y solamente un par ordenado de números reales y a cada par ordenado de númerosreales le corresponde uno y solamente un punto del plano”. A este par ordenado de números reales se le conoce con el nombre de coordenadas cartesianas del punto. Normalmente, se usa la expresión A(a,b) para indicar que “el punto A tiene coordenadas (a,b)”. A(-1,3) se lee como el punto A de coordenadas (-1,3), mientras que P(5,8) se lee como el punto P de coordenadas (5,8) Ubicación o representaciónde puntos en el plano cartesiano. Cualquier punto expresado como P(a,b), puede representarse en el plano cartesiano. Para hacerlo debemos considerar los aspectos teóricos desarrollados hasta ahora en lo que al sistema mismo se refiere y, además, el hecho que “el primer elemento del par (a) corresponderá a la coordenada del eje X, mientras que el segundo elemento del par (b) corresponderá a lacoordenada del eje Y.

Por ejemplo, para ubicar P(2,-3), procedemos como sigue: Instrucción 1. Trazamos nuestro sistema de coordenadas en el plano 2. Tomamos sobre el eje X, el valor 2 y sobre el eje Y, el valor -3 3. Levantamos segmentos de recta perpendiculares a cada uno de los ejes, X e Y, por los valores anteriores. 4. Ubicamos el punto P, en la intersección de los segmentos perpendicularestrazados. Casos especiales Primer caso: Los puntos cuyas ordenadas son cero, están sobre el eje X o eje de las abscisas. Por ejemplo, si queremos representar el punto P(3,0), solo tenemos que marcar el punto P tomado a 3 unidades sobre el eje x: Segundo caso: Los puntos cuyas abscisas son cero, están sobre el eje Y o eje de las ordenadas. Por ejemplo, el punto Q(0,-2), estaria ubicado sobre el eje Y,a 2 unidades hacia abajo. Ejercicios Represente los siguientes puntos en el plano:

A(2,1) Q(0,-1)

B(1,2) R(-3,2)

C(0,0) S(4,1)

D(-1,0) A(

E(1,0) ,e)

P(0,1) A

,-1) A(

Determinación de las coordenadas de un punto en el plano Si se tiene un punto P situado en el plano, ¿es posible determinar sus coordenadas? La respuesta es: SI. Simplemente trazamos, desde el punto P, los...