Coordenadas naturales

COORDENADAS NATURALES.

Es un sistema de coordenadas útil para describir la dinámica del movimiento
de un fluido. Aunque se pueden formular en tres dimensiones, veremos sólo
los aspectos endos dimensiones.

Usando las coordenadas naturales, se puede distinguir entre trayectoria y línea
de corriente de una parcela de fluido.

Trayectoria: Es la curva descrita por las posicionessucesivas de una parcela
de fluido en movimiento. En un instante dado, el vector velocidad es tangente
a la trayectoria.
Línea de corriente: Es una línea cuya tangente en cualquier punto delfluido
en movimiento es paralela a la velocidad instantánea.
Las trayectorias y las líneas de corriente generalmente no coinciden, excepto
en el caso de flujo estacionario.

En la horizontal seusa una coordenada s a lo largo de la trayectoria o de la
línea de corriente. La velocidad v que es tangente a la línea en P define un
vector unitario t tangente en P. Para mantener el sistemaortogonal derecho,
se elige una coordenada normal n en P, con vector unitario n La tercera
coordenada puede ser la vertical local z con vector unitario k.
Los vectores unitarios se relacionancon la regla:

Considerando una parcela de fluido que en un pequeño dt se mueve ds desde
P1 a P2, y donde vr gira un ángulo dθ , que por convención se considera
positivo si la rotación esantihorario.

Dθ/ds es una derivada material, es decir que describe los cambios de la
dirección de vr siguiendo la trayectoria de la parcela de fluido.

Si la curva fuera una línea de corriente, lospuntos P1 a P2 serían para un
mismo instante. En este caso se tiene:
curvatura de la línea de corriente, y Rs el radio de curvatura
de la línea de corriente.

Según la convención
> 0 si dθ > 0giro antihorario
K, Ks, R, Rs
< 0 si dθ < 0 giro horario

El vector unitario t) no es constante. Se puede demostrar que su derivada es
normal a t) . Por ejemplo si t) = t)(ε), como es...