Coordenadas polares

1.6

Gr´fica de ecuaciones polares a

Las gr´ficas de las ecuaciones polares, se puede realizar de manera similar a como se realizan las gr´ficas con a a ecuaciones param´tricas, esto es, evaluando la ecuaci´n polar para diferentes valores de ´ngulo, aunque puede e o a ser una labor tediosa. Otra manera, no siempre posible, es obtener la ecuaci´n en coordenadas rectangulares o o las ecuacionesparam´tricas correspondientes y realizar la gr´fica. e a A continuaci´n se realiza las gr´fica de algunas ecuaciones polares sencillas utilizando diferentes t´cnicas. o a e Ejemplo 1 Describir la gr´fica de cada ecuaci´n polar y confirmarla obteniendo la ecuaci´n rectangular correspona o o diente: (a) La ecuaci´n polar r = 3. o En esta ecuaci´n polar no aparece el ´ngulo θ, esto significa que el ´ngulopuede tomar cualquier o a a valor, adem´s, el valor de la magnitud r es una constante, 3. Esto significa, que la curva es aquella a formada por todos los puntos que est´n a una distancia de 3 del origen (definici´n de r ), y para a o todos los posibles ´ngulos, esta es la descripci´n de un c´ a o ırculo con centro en el origen. La ecuaci´n o de este c´ ırculo es x2 + y 2 = 9. La obtenci´n de laecuaci´n rectangular se obtiene con auxilio de las equivalencias entre coordeo o nadas polares y rectangulares: r tan θ = = x2 + y 2 y/x

Para este caso, se utiliza la ecuaci´n de r y se sustituye en la ecuaci´n polar o o r=3= elevando al cuadrado la ecuaci´n o r2 = 32 = x2 + y 2 de donde: x2 + y 2 = 9 La ecuaci´n rectangular corresponde a la de un c´ o ırculo de radio 3 y con centro en el origen. π(b) La ecuaci´n polar θ = . o 6 En la ecuaci´n polar no aparece la magnitud r, esto indica que r puede tomar cualquier valor. o El valor del ´ngulo θ es una constante π/6, o sea, todos los puntos tienen un ´ngulo de 30◦ . a a Combinando las dos caracter´ ısticas de la curva, los puntos de la curva tienen un ´ngulo de 30◦ y a su magnitud es −∞ ≤ r ≤ ∞, que corresponden a una recta con ´ngulo de30◦ . a La ecuaci´n rectangular se obtiene con la ecuaci´n del ´ngulo o o a π y tan θ = tan = 6 x 1 La tangente de π/6 es √ , de manera que 3 π y tan = 6 x 1 y √ = x 3 y simplificando 1 y = √ x 3 x2 + y 2

√ la ecuaci´n rectangular y = x/ 3 corresponde a una recta que pasa por el origen y con una o √ pendiente 1/ 3, o sea de 30◦ . (c) La ecuaci´n polar r = cscθ. o En esta ecuaci´n, se tiene que lamagnitud es una funci´n del ´ngulo, de la cual no es evidente o o a como es la curva, una alternativa es graficar diferentes puntos de la curva obtenidos al evaluar la ecuaci´n para valores del ´ngulo o para valores de la magnitud, otra alternativo es determinar la o a ecuaci´n rectangular. Para obtener la ecuaci´n rectangular, se debe eliminar tanto el t´rmino r o o e como el t´rmino θ, como sehizo en los problemas anteriores. Primero se debe expresar la ecuaci´n e o polar en funci´n de r, tan θ, senθ y cos θ, con el fin de utilizar las ecuaciones de conversi´n de o o coordenadas polares a rectangulares y viceversa. Para este caso, csc θ = 1/senθ, 1 senθ 1 de la ecuaci´n de y o y senθ y r y = = rsenθ r y y sustituyendo en la ecuaci´n de r o 1 simplificando = 1

r rsenθ

= =

r

=La ecuaci´n rectangular es la de una recta horizontal en y = 1. o En la figura 1.25 se muestran las curvas

(a) C´ ırculo r = 3

(b) Recta radial θ = π/6

(c) Recta horizontal r = csc θ

Figura 1.25: Conversion de polar a rectangular Ejemplo 2 Identificar la curva y obtener la gr´fica para las siguientes ecuaciones polares a (a) La ecuaci´n polar r = 2 cos θ. o Haciendo una evaluaci´n de laecuaci´n para diferentes valores de θ o o θ r punto 0 2 a π/4 √ 2 b π/2 0 c 3π/4 √ − 2 d π -2 e

En la figura 1.26(a) se muestran los puntos, los puntos a y e coinciden. Se observa que los puntos obtenidos, no son suficientes para determinar la forma de la curva, por lo que es necesario agregar mas puntos. θ r punto 0 2 a π/6 √ 3 b π/4 √ 2 c π/3 1 d π/2 0 e 2π/3 -1 f 3π/4 √ − 2 g 5π/6 √ − 3 h...