Coordenadas polares

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SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

La localización de puntos en el plano no solo se puede hacer utilizando el sistema de coordenadas rectangulares o plano cartesiano, existe otro sistema de referencia conocido como el sistema de coordenadas polares, el cual consiste en un eje horizontal llamado eje polar y un punto fijo llamado origen o polo.

La localización de puntos se hace mediante unapareja de números (r,(), donde r es la distancia medida a partir del polo y ( es el ángulo medido a partir del eje polar, ya sea en sentido levógiro o dextrógiro.

Para facilitar la localización de puntos frecuentemente se utiliza el papel polar, o bien se construye un sistema de coordenadas polares trazando varias circunferencias concéntricas cuyo centro es el polo, y una serie de rectasconcurrentes al polo y que representan la medida de diferentes ángulos tal como se observa en la figura siguiente:

Por ejemplo en este sistema la primera circunferencia puede representar a todos los puntos que están a una distancia de 1 del origen, la siguiente los que están a dos unidades y así sucesivamente.

Para los ángulos las divisiones que aparecen marcadas son cada 10°.

Así entonces lospuntos A (4, 105°), B(5,225°) y C(2, -30°) quedarán localizados tal como aparece en la gráfica siguiente:

En los puntos anteriores vemos que el ángulo puede ser positivo o negativo, pero ¿la distancia al origen r puede ser negativa?

La respuesta es sí, y la localización del punto se hace como se muestra en la figura, se mide primero el ángulo [pic] y enseguida se prolonga la línea hacia el otrolado del polo y mide la distancia r.

Por ejemplo si queremos localizar el punto [pic] debemos proceder de esta manera:

a) Trazar, o localizar, el lado terminal de un ángulo de 150°.

b) En lugar de medir dos unidades sobre el lado terminal del ángulo, prolongamos la línea del otro lado del polo, y sobre esta marcamos el punto P.

A diferencia del sistema de coordenadas rectangularesdonde a cada punto le corresponde un par único de coordenadas [pic], en el sistema de coordenadas polares cada punto puede tener más de una pareja de coordenadas que lo represente. Por ejemplo para el punto [pic] podemos dar la misma ubicación con las coordenadas [pic], o bien [pic]. ¿Cuáles deben ser las coordenadas del mismo punto si ambas cantidades deben ser negativas?

Ejercicio: ¿Con queotras parejas de coordenadas se puede localizar el punto [pic]

Gráfica de curvas a partir de su ecuación polar.

En coordenadas rectangulares se tiene funciones de la forma [pic], (como por ejemplo [pic]); a partir de la sustitución de valores para [pic] se obtienen valores de [pic] (procedimiento que conocemos como tabulación), después localizando en el plano cartesiano las parejas formadas[pic] se construye la gráfica de la curva.

En coordenadas polares también es posible obtener puntos de una curva a partir de ecuaciones o funciones, pero que relacionan r y el ángulo [pic], (en Winplot el ángulo es designado por la letra t y se debe expresar en radianes), así entonces tendremos expresiones de la forma [pic]; como por ejemplo [pic].

El procedimiento para la obtenciónde puntos de la curva con base en la expresión polar es similar al utilizado en coordenadas rectangulares; a partir de la función se sustituyen valores para el ángulo [pic] y se obtienen los correspondientes de r, después se localizan en el sistema polar las parejas [pic], y se van uniendo con una línea suave.

Ejercicio: Grafica la curva cuya ecuación polar es [pic]

|r |θ|
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