Coordenadas polares

SEGUNDO PROYECTO - CÁLCULO INTEGRAL
COORDENADAS POLARES

SERGIO ALEXANDER AVELINO MENESES
JUAN PABLO BETANCOURT MESA

PRESENTADO A:
BAYARDO VILLEGAS VARELA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD JAVERIANA
INGENIERÍA INDUSTRIAL
CÁLCULO INTEGRAL
BOGOTÁ
PRIMER PERIODO - 2006
CÁPITULO 9
ECUACIONES PARAMÉTRICAS, CURVAS PLANAS Y GRÁFICAS POLARES

• SECCIÓN 9.3
COORDENADAS POLARES YGRÁFICAS POLARES
Usualmente calculamos un punto mediante sus coordenadas cartesianas rectangulares. Para ubicar un punto en el plano, existe el sistema de coordenadas polares, donde ciertas curvas tienen ecuaciones más simples; la elipse, la parábola y la hipérbola, pueden representarse mediante una ecuación.
Las coordenadas cartesianas son números la abscisa y la ordenada, representan ladistancia dirigida a partir de dos rectas fijas.
Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo (polo u origen[pic]O) y un rayo fijo o semirrecta (eje o recta polar[pic]OA), está última se dibuja horizontal e indefinidamente a la derecha.

Teniendo un punto P diferente al origen O, teniendo el ángulo dirigido AOP [pic] enradianes, (es (+) si va en sentido contrario a las manecillas del reloj o (-) en caso contrario).
Lado inicial: Rayo OA; Lado final: Rayo OP; r: distancia no dirigida de O a P (r=[pic]).
[pic]Un conjunto de coordenadas polares de P está dado por r,[pic], y se denotan como (r, [pic]).

Para dibujar cualquier coordenada polar, primero desde el polo, y el eje polar (OA) medimos el ángulo [pic],luego ubicamos el punto P del lado final: Rayo OP, según [pic].
Sea una coordenada de P que debemos ubicar (r,[pic]), este mismo punto lo podemos representar con (r, [pic]), donde [pic] es cualquier real y K cualquier número entero.
Entonces podemos notar que cualquier punto P tiene un número ilimitado de conjuntos de coordenadas polares, a diferencia del sistema de coordenadas cartesianasrectangulares, donde existe una correspondencia uno a uno entre las coordenadas y la posición de los puntos en el plano.

Si r es negativo, el punto P estará ahora sobre la rolongación del lado Terminal; si P (r,[pic])[pic]; r=-[pic]. Ej: P(-4,[pic])

A menudo el ángulo se mide en radianes [pic]Un conjunto (infinito) de coordenadas polares de P es un par ordenado de números reales. Parac/par ordenado de reales existe un único punto al que le corresponde este conjunto de coordenadas polares.
Si P no es el polo y r y [pic] se restringen/ ([pic])[pic]P tiene un único conjunto de coordenadas polares.

Algunas veces se quiere referir a los dos sistemas de coordenadas de un punto. [pic] Se considera: el origen del primer sistema (cartesiano), como el polo del segundo(polares); el eje polar como (la parte (+) del eje x (en cartesianas)); el rayo OP o lado final (polares)/[pic], como (la parte (-) del eje y (en cartesianas)).

Sea P (x,y) (en Cartesianas); y P(r,[pic]) (en Polares), y P [pic] 2º cuadrante; r > 0
[pic][pic][pic]Se cumplen para P en cualquier cuadrante y r(+)o(-).
Así obtenemos las coordenadas cartesianas rectangulares a partir de lascoordenadas polares.

Para encontrar las ecuaciones que nos darán el conjunto de coordenadas polares de P a partir de las coordenadas cartesianas rectangulares,
[pic][pic]
sabemos que por identidades trigonométricas [pic]
[pic][pic]

Para obtener [pic] [pic]
Para pasar de ecuaciones polares a cartesianas[pic]

Para pasar de ecuaciones cartesianas a Polares[pic]; [pic]

TenemosEcuaciones Polares y Ecuaciones Cartesianas
Para obtener una ecuación cartesiana de una grafica que esta dada por la ecuación polar [pic]
[pic]Aplicamos: [pic].

En coordenadas polares se denominan las graficas polares, donde los puntos P tienen al menos un par de coordenadas polares que satisface la ecuación polar.

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