Coordenadas Polares

Coordenadas Polares
Ilustración 1- Para definir un puto es suficiente determinar la distancia r (radio) y el ángulo que forma con el eje Polar (OX)
Al igual que las coordenadas Cartesianas (Rectangulares), Las Coordenadas Polares son un sistema bidimensional en el cual un punto queda definido por una distancia o radiory un ángulo con respecto al eje polar OX (Ilustración 1). De esta manera unpunto queda representado en el plano por un par ordenado P(r,θ).
En el caso de el punto O (Polo) este tiene un radio r igual a cero y un ángulo θ no definido. Por convención se suele representar al Polo O con el par ordenado (0;0º).(Ilustración 2)
Reseña Histórica
Los conceptos de ángulo y radio se conocían desde la antigua, pero no es sino hasta el siglo XVII, Luego de la invención de lageometría analítica que se habla del concepto formal del sistema de coordenadas Polares.
Los primeros usos fueron para la navegación y para el estudio de la Bóveda Celeste. Arquímedes describe en su libro Sobre Las Espiralesla espiral de Arquímedes, una función cuyo radio depende del ángulo, pero sin embargo estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas para localizar puntos en elespacio.
Ilustración 2- Se observa la representación del sistema de coordenadas polares.
El concepto abstracto de coordenadas polares se debe a Sir Isaac Newton quien en su libro Método de las Fluctuaciones lo menciona junto con otros siete sistemas de coordenadas. El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana.

Relación entre Coordenadas Polares y Rectangulares.
Sepuede establecer una relación entre el sistema de coordenadas cartesiano y el sistema de coordenadas polares.

De Rectangular a Polar:
Por Pitágoras se puede deducir la distancia rque viene a ser la distancia desde el Polo Oal punto.(Ilustración 3)
Este vendría a ser:
r=x2+y2
Por último faltaría el valor θ que define el ángulo desde el eje polar OX. Para esto se debe considerar en quecuadrante se encuentra.
1º Cuadrante- Queda definido por:
θ=arctanyx
Ilustración 3- Relación entre coordenadas Polares y Rectangulares.
2º Cuadrante- Se define por:
180º-θ
3º Cuadrante- Se define por:
180 + θ
4º Cuadrante- Se define por:
360 – θ

De Polar a Rectangular:
Se puede descomponer el radio r, de tal forma que:
x=r.cosθ
y=r.senθ

Ecuaciones Polares
Son aquellas quedefinen una curva expresada en coordenadas polares. Se especifica esa función definiendo r como una función de θ.
Ilustración 4- Se puede observar que es más fácil representar una circunferencia en coordenadas polares.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho másintrincado (Ilustración 3). Algunas de las curvas más conocidas son la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide.
Caracol:
r=a±bcosθ ó r=a ±bsenθ

Rosa Polar:
r=acosnθ ó r=asen(nθ)

Lemniscata:
r2=a.cos2θ ó r2=a.sen(2θ)

Espiral de Arquímedes:
r=aθ

Estas son las funciones más conocidas que se pueden representar con la ayuda de lascoordenadas polares.Escribir estas funciones para un sistema cartesiano sería muy complicado.
En el sistema de coordenadas polares también se puede representar las secciones cónicas. De una manera más sencilla que en el sistema cartesiano.
Así se pude representar por ejemplo:La Parábola

La Hipérbola
La Elipse



Conversión de ecuaciones rectangulares a polares.
Para convertirecuaciones rectangular a ecuaciones en sistema polar solo se remplaza a y por rsenθ y a x por rcosθ. Y luego se procede a despejar de tal forma que quede r en función de θ.
Ejemplos:
1.- Convierta y=5 a una ecuación polar.
Reemplazamos y por rsenθ:
r.senθ=5
r=5senθ → r=5.cscθ
2.- Convierta x2+y2-2x=0 a una ecuación polar.
r.cosθ2+r.senθ2-2rcosθ=0
r2senθ2+cosθ2=2rcosθ
r=2cosθ...