Corriente De Stokes

INDICE

• Corriente de Stokes
• Placa oscilante en presencia de otra
• Problema de Rayleigh

MECÁNICA DE FLUIDOS

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Corriente de Stokes
La corriente de Stokes es un flujo unidireccional (laminar), no
estacionario, incompresible, viscoso y que se mueve sobre una placa
infinita (bidimensional), con una velocidad U(t)=U0cosωt. En ausencia de
un gradiente de presión motriz(despreciando la gravedad):
∂ u ∂ u
∂u
= l (t ) + µ  2 + 2 
p
ρ
∂t
∂z 
 ∂y
2

∂u
∂ 2u
=ν 2
∂t
∂y

u∞=0

2

y
u=U0·cosωt
c. contorno → u ( 0 ) U 0 cos ωt , u (∞) 0
=
=

Este flujo recibe el nombre de George Gabriel Stokes, matemático y
físico irlandés del siglo XIX.
 Corriente de Stokes
 Placa oscilante en presencia de otra
 Problema de Rayleigh

MECÁNICA DE FLUIDOS3

Corriente de Stokes
u∞=0

∂u
∂ 2u
=ν 2
∂t
∂y

c. contorno → u ( 0 ) U 0 cos ωt , u (∞) 0
=
=

y
u=U0·cosωt

Como buscamos soluciones periódicas, para facilitar la resolución, se escribirá u en forma compleja:

u = Real  f ( y ) eiωt 



c. contorno → f = U 0 , f (∞) 0
=
( 0)

Sustituyendo este valor de la velocidad u en la ecuación simplificada deNavier-Stokes, se tiene:

∂u
∂ 2u
∂ 2 f iωt
∂2 f
= ν 2 → iω f ·eiωt =
·e → iω f =
2
∂t
∂y
∂y
∂y 2
 Corriente de Stokes
 Placa oscilante en presencia de otra
 Problema de Rayleigh

MECÁNICA DE FLUIDOS

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Corriente de Stokes
Esto convierte a la ecuación en una Ecuación Diferencial Ordinaria cuya solución general es:

∂2 f
y
iω f=
→ f= B1e
2
∂y

iω

ν

+ B2 e

−y

iων

Considerando la determinación:

 f ( ∞ ) = 0 → B1 = 0

+ B2 e

 f ( 0 ) = U 0 → B2 = U 0

ω
ω
− y 2ν + (ωt − y 2ν )i 

iωt
= Real  f ( y ) e  Real U 0 e
u=





1+ i
y
i=
→ f = B1e
2

ω

2ν

(1+ i )

= U 0e
u

−y

−y

ω
2ν

(

ω

2ν

(1+ i )

cos ωt − y

ω

2ν

)

(*)

(*) Se ha considerado la igualdadtrigonométrica eix=cosx+i·sinx.
 Corriente de Stokes
 Placa oscilante en presencia de otra
 Problema de Rayleigh

MECÁNICA DE FLUIDOS

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Corriente de Stokes

u
= U 0e

−y

ω

2ν

(

cos ωt − y

ω

2ν

)

Este movimiento tiene un carácter ondulatorio amortiguado, con una velocidad de propagación de
onda perpendicular a la pared de:

ω
= 2νω
ω
2ν
La parte exponencialproduce una amortiguación que hace que el efecto de la pared se perciba a
distancias del orden de:

δ

2ν

ω

Cuando y tome un valor de 2 o 3 veces δ, la velocidad u es prácticamente nula.
 Corriente de Stokes
 Placa oscilante en presencia de otra
 Problema de Rayleigh

MECÁNICA DE FLUIDOS

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Corriente de Stokes

u
= U 0e

−y

ω

2ν

(

cos ωt − y

ω

2ν

)El esfuerzo comunicado a la placa por el flujo es:
 ∂u 
 ∂y  y =0


 ∂f ( y ) iωt 
3π 
iω iω 

ρU 0 νω cos  ωt −
e  =t  = 
e
− µ·Real U 0
ν
4

 ∂y
 y =0



τ =
µ·  =µ·Real

Se puede observar que el esfuerzo sobre la placa está desfasado -3π/4 radianes respecto de la
velocidad de la placa.

 Corriente de Stokes
 Placa oscilante en presencia deotra
 Problema de Rayleigh

MECÁNICA DE FLUIDOS

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Corriente de Stokes
u
=cos (ωt − η )
e −η
U0

6
ωt=0
ωt=π/8
5

6
donde: η =2ν
yω

5

ωt=π/4
ωt=3π/8
ωt=π/2

4

4

ωt=5π/8
ωt=7π/8

3

3

η

η

ωt=3π/4

exp(-η)
cos(0-η)
cos(π/8-η)
cos(π/4-η)
cos(3π/8-η)
cos(π/2-η)
cos(5π/8-η)
cos(3π/4-η)
cos(7π/8-η)
cos(π-η)

ωt=π
2

2

1

1

00

-1

-0,5

 Corriente de Stokes
 Placa oscilante en presencia de otra
 Problema de Rayleigh

0
u/U0

0,5

1

-1

-0,5
0
0,5
exp(-η); cos(ωt-η)

1

MECÁNICA DE FLUIDOS

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Corriente de Stokes
Velocidad u (línea azul) y posición de las partículas
(puntos rojos) en función de la distancia a la pared.

u
=cos (ωt − η )
e −η
U0

donde: η =2ν
yω...