Cortaduras de Dedekind

Universidad Nacional de Colombia
Sistemas Numericos
Juan Diego Mejía

1. Sea a un numero real positivo. Muestre que:
inf f a : n 2 Z+ g = 0
b
a
Proof. Sea A = f a : n 2 Z+ g. Como a y n sonpositivos entonces n > 0 para
b
+
todo n 2 Z , luego 0 es una cota inferior de A.
Sea b > 0, luego por propiedad arquimediana de R existe k 2 Z tal que
a
a
a < kb, por lo tanto k < b, como k 2A, b no es cota inferior de A.

2. Sea

una cortadura
= fs 2 Q :

Demuestre que

s2
=

y -s no es el mínimo de Q

g

es una cortadura

Proof. 1) Es claro que es diferente de vacío,pues como 6= Q, existe un -s
que está en Q y no es el mínimo de Q
.
2) Así mismo es claro que es distinto de Q pues ya que 6= , entonces
existirá un x = ( x) 2 , por lo tanto -x no pertencerá a perosí a los
racionales.
3) Sea x 2 Q, s 2 , x < s. Entonces s 2 ; luego s > y para todo y en
=
; es claro que x > s, luego x > y para todo y en . Por otro lado es claro
que si -s no es el mínimo deQ
entonces -x tampocó lo será pues x > s:
4) Supongamos que tiene máximo, sea y = max( ), entonces y 2 , x y
para todo x en : Como y 2 , -y no es el mínimo de Q
: Por otro lado
x
y para todo x2 Q
, así -y es el mínimo de Q
lo que nos lleva
a una contradicción.
3) Encontrar el supremo y el in…mo de
A = f 2+n : n 2 Ng
n

1

Como sabemos que 2+n es una función estrictamentedecreciente en los natn
urales, entonces podemos decir que la función f : N ! R; f (n) = 2+n toma su
n
máximo valor cuando n = 1 y se hace mas pequeño a medida que crece n. luego
sup(A) = 3; inf(A) = 14) Demuestre la propiedad arquimediana de Q:
Lo que queremos probar es:
Sean x; y 2 Q, y > 0, entonce existe n 2 Z+ tal que ny > x
Proof. Supongamos lo contratio, entonces existen x; y 2 Q; y > 0tal que
ny x para todo n en los enteros positivos, entonces n x para todo n en los
y
enteros positivos, así Z+ está acotado superiormente por x lo que nos lleva a
y
una contradicción, por lo que...