Cortante

5.

ESFUERZOS DE FLEXIÓN Y CORTANTES

Se define la Deflexión, como el desplazamiento de cualquier punto de la viga a lo largo de su eje, o deformaciones causadas por las fuerzas internas. La Flexión Pura, es la flexión bajo un dM momento constante; donde la fuerza cortante es cero, debido a que la derivada V = = 0, dx V = 0 en todas las secciones.
La Flexión no uniforme, se da cuando elmomento es variable, debido a la presencia de fuerzas cortantes por cargas puntuales, o variación de la magnitud de cargas distribuidas a lo largo del eje de la viga.

5.1. ESFUERZOS Y DEFORMACIÓN UNITARIA POR FLEXIÓN
La curvatura esta relacionada en forma directa con las deformaciones y esfuerzos en una viga, es una medida de la flexión o cuan deformado esta un elemento. La siguiente viga envoladizo es sometida a una carga puntual P en el extremo. O : Centro de curvatura

ρ : Radio de curvatura
k= 1

ρ

Curvatura

A mayor carga, menor ρ y mayor k .

ρdθ = ds ρ=
k=
ds dθ

1

ρ

=

dθ ds

Como las deflexiones generalmente son pequeñas comparadas con la longitud L de la viga ds tiende a dx.

k=

1

ρ

=

dθ dx

Una viga en flexión pura tiene curvaturaconstante. Una viga en flexión no uniforme tendrá una k variable. Consideraciones para una viga en flexión pura: En el EN (Eje Neutro) no hay deformación o cambio de longitud. Las líneas longitudinales bajo EN , se alargan y por encima del EN se comprimen La sección transversal es simétrica respecto plano xy .

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Las secciones transversales permanecen planas ( mn y pq ) durante la flexión ygiran respecto a sí mismas sobre un eje perpendicular al plano longitudinal xy . El Plano xy , es el plano de flexión. En el EN la distancia permanece constante. La Longitud original de la línea ab = dx

ρdθ = dx

dθ =

dx

ab = dx − δ = ( ρ − y )dθ ab = ρdθ − ydθ = dx − y

ρ

εx =
εx =

δ
L y

ρ

dx

1 Pero k = dx ρ y εx = = ky Deformación unitaria normal.

ρ

dx

ρ

y(+) : Cuando las fibras se alargan o están en tensión. Las deformaciones unitarias longitudinales εx son proporcionales a la curvatura y varían linealmente con la distancia y desde E.N. Se supone que los materiales cumplen la Ley de Hooke o permanecen dentro del rango elástico. y σ x = E εx = E = Eky

ρ

Los esfuerzos varían con la forma de la curva esfuerzo deformación. Para el caso elásticovarían linealmente con la distancia desde el E.N. Por equilibrio en la sección transversal:

∑ Fx = 0 ∫ σ dA =∫
A x

A

EkydA = 0

E , .k : Constantes

∫

A

ydA = 0

En flexión pura la sumatoria de fuerzas sobre la sección es cero, es decir que la integral sobre el área transversal es cero. El primer momento estático del área de la sección transversal respecto al eje neutro escero, el cual pasa por el centroide de la sección transversal y no hay
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fuerza axial actuando en ella. También se puede interpretar que la suma de fuerzas en la sección es igual a cero, ya que se encuentra en equilibrio estático, sino fuera así, la sección rotaría. El par interno es:

∑M = 0
dM = (σ x )(dA)( y ) M = ∫ σ x ydA
A

M = ∫ Eky 2 dA = kE ∫ y 2 dA
A A

M = kEI

∫

A

y2 dA = I
1

Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje EN. Ecuación Momento – Curvatura.

k=

ρ

=

M EI

Rigidez por flexión EI; es la resistencia de la viga a la flexión. A mayor rigidez EI, mayor es el momento que se tiene que aplicar para flectar o doblar la viga. La resistencia a la flexión se puede mejorar aumentado la inercia de la sección, es decir colocandosecciones mas grandes, o aumentado el módulo de elasticidad; en algunos materiales como el concreto, esto se consigue aumentando la cantidad de cemento, por lo tanto la resistencia última es proporcional al módulo de elasticidad.

5.2. FORMULA DE FLEXIÓN
Usando las relaciones entre esfuerzo normal en la sección, momento y curvatura.
Ey M Pero k = EI Igualando las curvaturas, se obtiene la...