Cosmología

La geometr´ de Robertson-Walker y campos escalares con acoplamiento no m´ ıa ınimo
Roberto De Arcia
Facultad de Ciencias F´ ısico-Matem´ticas, UMSNH, rdarcia@fismat.umich.mx a

Joaqu´ Est´vez Delgado ın e
Facultad de Ciencias F´ ısico-Matem´ticas, UMSNH, joaquin@fismat.umich.mx a

Tatjana Vukasinac
Facultad de Ingenier´ Civil, UMSNH, tatjana@shi.matmor.unam.mx ıa En relatividad general y demanera particular en cosmolog´ existe una serie de problemas importante que han encontrado respuesta ıa satisfactoria mediante el uso de teor´ ıas tensor escalares, al igual que otros problemas abiertos para los cuales se han realizado algunas propuestas de soluci´n que sin embargo no han sido resueltos del todo. Dada la relevancia de estas teor´ o ıas por lo antes mencionado, en este cartelpretendemos analizar distintas teor´ ıas tensor escalares que generan la misma geometr´ dentro de modelo cosmol´gico ıa o de Robertson-Walker.

El modelo de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) es el modelo est´ndar de a cosmolog´ ıa, generado a partir de los principios cosmol´gicos cuando se asocia al o tensor de energ´ ıa-momento un fluido perfecto, mismo que ha sido estudiado extensamente en laliteratura y que nos describe el comportamiento actual de universo [1]. Sin embargo existen soluciones asociadas a un campo escalar con acoplamiento m´ ınimo que toman en cuenta el principio cosmol´gico y generan la misma geo ometr´ de FRW [2]. Los campos escalares en teor´ de relatividad general han sido ıa ıa utilizados en la soluci´n de diversos problemas, como el problema de la materia obo scura,teor´ de inflaci´n y teor´ de unificaci´n. Se han propuesto varios tipos de ıa o ıa o acoplamiento de campo escalar con la geometr´ y distintos potenciales del campo ıa, escalar y se han analizado algunas de las consecuencias f´ ısicas de estas elecciones. Las teor´ ıas con acoplamiento no m´ ınimo surgen en el intento de construir la teor´ ıa de gravitaci´n consistente con teor´ cu´ntica de camposen el espacio-tiempo curo ıa a vado [3], tambi´n en el l´ e ımite de energ´ ıas bajas en teor´ de cuerdas. ıa Recordando que un espacio-tiempo de Robertson-Walker es homog´neo e e isotr´pico y su geometr´ o ıa, para una topolog´ dada, est´ completamente caracıa a terizada por su factor de escala. Vamos a mostrar que un mismo factor de escala puede ser obtenido usando diferentes teor´ ıastensor-escalar, determinadas por el tipo de acoplamiento del campo escalar con la geometr´ y por el potencial del ıa campo escalar. Este procedimiento nos da un conjunto de teor´ ıas tensor-escalar que generan un universo homog´neo e isotr´pico, cuyas propiedades y predicciones e o deben analizarse con detalle, para encontrar su relaci´n con los modelos realisticos o del Universo. En particularanalizaremos la din´mica de un Universo homog´neo e isotr´pico a e o con acoplamiento no m´ ınimo a un campo escalar que es s´lo dependiente del tiempo. o La m´trica, en las coordenadas esf´ricas, tiene la forma de Robertson-Walker [1] e e dr2 1 − kr2

cambio de variable f (t) = s(t)a−2 , las dos ecuaciones anteriores se reducen a dos ecuaciones para s(t) y φ(t): 1 a s(t) a2

s+ ¨

as + ˙˙

(4k −λs) = 0

(5)

˙2 φ =

a2 κs

c2 12sa2 ˙ 1 − a6 a6

(6)

en donde c1 es una constante arbitraria. Integrando la ecuaci´n para s llegamos a o

1 a

−

3s ˙ 6λs3 − 36ks2 − 18C1

= 0

(7)

Un caso particular que nos permite ejemplificar de manera sencilla el proceso a seguir para determinar f (φ), es tomar a = αt y k = 0 (el caso de la misma m´trica pero con el acoplamiento m´ eınimo ha sido analizado en [2]). Con lo antes mencionado llegamos a:

ds

2

2 2 = −dt + a (t)

2 2 2 2 + r (dθ + sin θdφ )

(1) f (t) = 4κ λα2 t2 (8)

donde a(t) es el factor de escala con t el tiempo cosmol´gico y k la curvatura o espacial escalada (−1, 0, 1). La acci´n con acoplamiento no m´ o ınimo a un campo escalar φ, que utilizaremos es [4] 1 2t (2)

φ(t) = A = [f (φ)R − κ 2...