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NOCIONES DE ALGEBRA VECTORIAL

Algunas magnitudes físicas quedan perfectamente definidas mediante
un número real (R) acompañado de la unidad elegida para medirla. A este tipo
de magnitudes se les denomina magnitudes escalares.
Otras magnitudes, para quedar perfectamente definidas, requieren,
además del número real y de su unidad, dar la dirección y el sentido en el que
actúan. A estasmagnitudes se les denomina magnitudes vectoriales.
Su representación se realiza mediante vectores.
segmentos orientados y están caracterizados por:

Los vectores son

(

)

•

Módulo: es la long. del segmento que lo representa

•
•

Dirección: es la recta soporte a la que el segmento pertenece
Sentido: se le da fijando uno de los extremos como origen y el otro
como final (flecha)a , OA....

CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES
•

Libre: queda definido conociendo su módulo, su dirección y si sentido.
EJEMPLO: los vectores que representan la P que ejerce un fluido
que está en reposo sobre el fondo del recipiente ( siempre que
este sea horizontal y plano)

•

Deslizante: es un vector libre en el que está determinada la recta
soporte sobre la que actúa (5 parámetros: 1del módulo, 3 de la
dirección y la ecuación de la recta)
EJEMPLO: las F aplicadas sobre el sólido rígido

•

Localizado: es un vector libre en el que está localizado su punto de
aplicación (6 parámetros)
EJEMPLO: los vectores de las velocidades lineales

SISTEMA CARTESIANO DE REFERENCIA
Elegimos como sistema de referencia el sistema cartesiano a derecha
rrr
Tomamos los vectoresunitarios i , j , k , como vectores linealmente
independientes, por lo tanto, cualquier vector del espacio se puede expresar
como función de estos 3 vectores.

El vector unitario o versor se define como aquel vector que tiene como
módulo 1

ua =

1r
a
a

r
⇒ a = a ua

Regla de la mano derecha o del sacacorchos.
Si hacemos girar el sistema de OX a OY por el camino más corto, ladirección del eje Z apunta en sentido distinto al que indica la regla del
sacacorchos, apunta en sentido inverso.

2

COMPONENTES

•

r

Dado un vector a , se denominan componentes del mismo, a sus
proyecciones sobre las direcciones de los ejes del sistema de referencia:

ax , ay , az

r
a = ( ax , ay , az )
r
i = (1 , 0 , 0 )
r
j = (0 , 1 , 0 )
r
k = (0 , 0 , 1)

Figura 1Si estas proyecciones tienen la misma dirección que los vectores
serán positivos, en caso contrario, lógicamente, serán negativos.

rrr
i , j,k

Las componentes son únicas para cada vector
• MÓDULO
El módulo de un vector es un escalar, resultado de la operación:
2

2

a = ax + ay + az

2

• COSENOS DIRECTORES
Son los cosenos de los ángulos que la dirección del vector forma con losejes del sistema de referencia:

cos α x =

ax
a

, cos α y =

ay
a

, cos α z =

az
a

Si el vector es unitario, los cosenos directores coinciden con las
componentes del vector:

u = 1 → 1 = cos 2 α x + cos 2 α y + cos 2 α z
3

Teniendo en cuenta la figura 1, la suma geométrica es:

r
a = OB + OC + OD
r
r
r
r
a = a x i + a y j + a zk

OPERACIONES CON VECTORES• SUMA DE VECTORES

r
rr
s = a+b
PROPIEDADES:

rrrr
a+b=b+a
1. Conmutativa:

r

2. Asociativa:

r

r
rr
r
( a + b )+ c = a + ( b + c)

r

r

r

3. Existe un vector nulo: 0 · a + 0 = a

4

r

r

r

4. Existe un elemento opuesto: a + (− a ) = 0
SUMA ANALÍTICA

r
r
r
a 1 = a 1x i + a 1y j + a 1z k
r
r
r
a 2 = a 2 x i + a 2y j + a 2z k
M

 ∆ x = ∑ aix


siendo ∆ y = ∑ a iy

∆ z = ∑ a iz


M

M
M
r
r
r
a n = a nx i + a ny j + a nz k
r
r
r
A = Ax i + Ay j + Azk

SUMA GEOMÉTRICA:

•

r
a = OB + OC + OD
r
r
r
r
a = a x i + a y j + a zk

RESTA DE VECTORES

rrr
rr
r =a − +b =a −b

()

r

r

Para restar vectores lo que se hace es sumar por el opuesto: a − b

rrr
rr
r =a − +b =a −b

()

•...