Crecimiento Exponencial

Crecimiento Exponencial
El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo cual implica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:
M_t = M_0 \cdot e^ {rt} \
Dónde
Mt= es valor de la magnitud en el instante t > 0;
M0=es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;
r = es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;
e = 2,718281828459...
El nombre naturalmente se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma y = ax con r = ln(a). Se puede ilustrar el crecimientoexponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024. Y así sucesivamente.

     Crecimiento exponencial
     Crecimiento lineal
   Crecimiento cúbico 



Fenómenos con crecimiento exponencial
Algunos fenómenos que pueden ser descritos por un crecimiento exponencial, al menos durante un cierto intervalo de tiempo, son:
* El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
* En una economía sin trastornos, los precios crecenexponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
* El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
* El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero.
* El número de bacterias que se reproducen por fisiónbinaria.
* El número de individuos en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador.
Ecuaciones diferenciales
El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un punto es proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:
(1) \begin{cases} \cfrac{dM}{dt} = rM \\ M (0)=M_0\end{cases}
Donde M_0\; es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para t = 0). La solución esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es simplemente:
M (t)=M_0 e^ {rt}\;
Para t > 0 puede verse que M (t) > M_0\; (siempre y cuando el crecimiento sea positivo r > 0
Ejemplo:
Una población devizcachas en enero de 1991 tenía 200 individuos y en enero de 1992 se produjeron 40 muertes y 80 nacimientos. Hallar las tasas porcentuales anuales de natalidad y mortalidad y calcule el tamaño final de la población suponiendo que no hubo migración.
Una población de vicuñas presenta un crecimiento exponencial (condiciones óptimas) en cuantos años alcanzará una población de 500 individuos. Si r= 1.2 y No = 50 individuos.
dN/dt = rN
N = # de individuos de la población, t = tiempo durante el cual se dará el crecimiento, índice reproductor neto expresado como tasa diferencial, d = diferencial


HEPATITIS A Y E
¿Qué es la enfermedad?
Las hepatitis A y E son enfermedades virales, altamente contagiosas que causan inflamación
del hígado. Hay cincotipos de hepatitis virales: A, B, C, D o Delta y E. Todas tienen
D o Delta y E. Todas tienen características similares al inicio de la enfermedad.
No obstante, cada una difiere de la otra en sus formas de transmisión, manifestaciones,
efectos, tratamiento, prevención y control.
En los países con problemas de saneamiento ambiental y educación sanitaria deficiente,
la variedad “A” es la...