Crecimiento exponencial

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Crecimiento Exponencial

El número de bacterias de un cultivo aumenta 20% por minuto. Es decir la tasa de crecimiento de la población de bacterias es constante. Si inicialmente hay 1 000 bacterias.¿Cuántas habrá luego de tres minutos?
Después de un minuto, el número de bacterias será 1 000 más el 20% de 1000.

Como

Habrá 1200 bacterias al cabo de un minuto.
Después de dos minutos:Luego de tres minutos

Si A es el número de bacterias y r, la tasa de crecimiento por minuto, entonces en el primer minuto habrá A + rA bacterias. En el segundo, el número de bacterias será laque había al término del primer minuto (A + rA) más el crecimiento correspondiente

Entonces A + rA + r(A + rA)= A + 2Ar + Ar² = A (1 + 2r + r²) = A (1 + r)², A(1 + r)² es el número de bacterias alfinal del segundo minuto.
En el tercer minuto, habrá el número de bacterias del segundo minuto A(1 + r)² mas el incremento respectivo:

A(1 + r)² + rA(1 + r)² = (A + rA)(1 + r)² = A(1 + r)(1 + r)²=A(1 + r)³.
A(1 + r)³ es el número de bacterias que hay al concluir el tercer minuto.

Si se concentran los valores en una tabla, es posible encontrar una expresión para calcular el número debacterias en n minutos.

Tiempo | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | n |
Núm. de Bacterias | A | A(1+r) | A(1+r)² | A(1+r)³ | ... | A(1+r)n |

Por ejemplo, si se quiere saber cuántas bacteriashabrá en cinco minutos, se calcula:
1 000 = 1 000(1.2)5
= 1 000(2.48832)
= 2 488.32
Entonces a los cincominutos habrá 2 488 bacterias.

La gráfica de la función 1 000 (1.2)t se presenta en seguida.

Las funciones de la forma kax es una constante diferente de cero, a una constante positiva y x lavariable independiente, se llaman funciones exponenciales. En el ejemplo, la función A(1 + r)t es una función exponencial porque A y (1 + r) son constantes y t es la variable independiente tiempo.

Una...
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