Crecimiento Poblacional

Páginas: 5 (1102 palabras) Publicado: 18 de mayo de 2012
CRECIMIENTO POBLACIONAL
Carlos López, carolina, Bensiun Bolívar Vidal, Jerson .
CORPORACION UNIVERSITARIA AUTONOMA DEL CAUCA

Abstract- the poblacion creciment in mathematics have long wanted to develop but it was not until 1978 that Thomas Malthus who gave his first essay on this.
The solution is given by differential equations, is made very easy to travez of two methods. The first iscalled the Malthusian model, and based on this was given to the called logistics equation.

Keywords: crecimiento poblacional, modelo maltusiano, modelo logístico.

1. INTRODUCCION.

El crecimiento poblacional

2. CUERPO DE TRABAJO

Uno de los primeros intentos para modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus, economista ingles en 1798. El modelomaltusiano se basa en q la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total, p (t). En ese país en cualquier momento t.

En otras palabras, entre más personas haya en un momento t, habrá más en futuro. En términos matemáticos esta hipótesis se expresa:

dPdt=kP

Donde K es una constante de proporcionalidad. A pesar de q este sencillo modelo notiene en cuenta muchos factores (inmigración o emigración) que puede influir en poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir.
Este modelo pudo predecir con mucha exactitud la población de estados Unidos desde 1790 hasta 1860. Esta ecuación se utiliza mucho para modelar poblaciones de bacterias y animales pequeños en un intervalo de tiempo.

Este modelo también se utiliza para eldecrecimiento, un ejemplo es la desintegración radiactiva del Radio (Ra), q se desintegra y se convierte en gas Radón.

Por supuesto la ecuación a utilizar es la misma el único cambio que se proporciona es q en crecimiento K>0 y en decrecimiento K<0.

El modelo de decrecimiento también se aplica a sistemas biológicos como por ejemplo la determinación de la “vida media” o “periodo medio” de unamedicina. Nos referimos al tiempo q tarda el organismo en eliminar el 50% de ella. Sea por excreción o metabolismo.

Existen 2 métodos muy conocidos para resolver las E.D. de crecimiento poblacional.
Ellas son:
A. Modelo Maltusiano o exponencial.
B. Modelo logístico.

A. MODELO MALTUSIANO.

Supongamos que P = P (t) es el número de individuos de una población (personas, plantas,animales o bacterias) que tienen índices de natalidad y mortalidad b y d, respectivamente (nacimientos y muertes por unidad de tiempo). Entonces, en un instante corto de tiempo ∆t, tenemos:

∆P=b-dP(t)∆t

Donde K= b-d

dPdt=kP

Integrando a ambos lados tenemos:

dpP=kdt

Esto es igual a:

lnP=kt

Aplico propiedades de ln:

p=ekt

Ahora digo q la solución es:

p=PoektB. ECUACION LOGISTICA

Se dice que el modelo exponencial o maltusiano no es muy preciso ya que para el futuro proyecta crecimiento cada vez más rápido de manera indefinida.

La cantidad limitada de recursos y espacio fuerzan un descenso en la tasa de crecimiento. Esto sugiere una nueva ecuación basada en la anterior, la cual es llamada la ecuación logística en la cual suponemos que la tasade crecimiento es proporcional al tamaño de la población P y la diferencia M-P, donde M es la población máxima que se puede sostener con los recursos. Esto conduce a la ecuación diferencial.

dPdt=kPM-P

Donde K es la constante de proporcionalidad.

Para resolver la ecuación separamos variables e integramos.

dPPM-P=Kdt

El integrando de la izquierda se puede expresar así:

1PM-P=1MMPM-P

= 1MM-P+PP M-P

=1M1P+1M-P

Al integrar esta última expresión tenemos:

1M Ln P- 1M Ln M-P=Kt+c1

lnPM-P=MKt+Mc1

PM-P=ceMKt

P=MceMKt-PceMKt

P1+ceMKt=MceMKt

P= MceMKt1+ ceMKt

Si P (0) = Po, entonces podemos calcular la constante c.

Po= cM1+c o c= PoM-Po

De donde:
P= PoM-PoMceMKt1+PoM-PoceMKt=

P= MPoPo+M-Poe-MKt

Por lo tanto la solución de la...
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