CRECIMIENTO POBLACIONAL

Crecimiento de poblaciones

Veremos dos modelos de ED que sirven para representar la forma en que evoluciona el número P.t / de habitantes de una determinada población conforme pasa el tiempo t _ 0. Es evidente que dicho número P.t / varía con el tiempo, pues en todas las poblaciones se cumple el ciclo biológico nacimiento-crecimiento-reproducción-muerte, sin importar la especie queobservemos (pueden ser bacterias, hongos, conejos, animales en peligro de extinción, poblaciones humanas de lugares de todo el mundo...). Lo que más afecta a P.t / son los nacimientos y las muertes, aunque otros fenómenos como la migración (que no consideraremos aquí) también lo afectan.

Vale la pena aclarar que P.t / es un número entero, pues representa la cantidad de habitantes (que denominamospoblación), pero en los casos que estudiaremos a continuación se considera como una función real de variable real, ya que sólo así podemos hacer un modelo con ED.
Crecimiento exponencial


     Crecimiento exponencial      Crecimiento lineal      Crecimiento cúbico
La expresión crecimiento exponencial se aplica a una magnitud M tal que su variación en el tiempo es proporcional a su valor, lo queimplica que crece muy rápidamente en el tiempo de acuerdo con la ecuación:

Donde:
Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0;
M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla;
r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0;
e = 2,718281828459...
La expresión se refiere alcrecimiento de una función exponencial de la forma con . Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo, si x = 4, entonces y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1.024. Y así sucesivamente.
Fenómenos que crecen de forma exponencial
Algunos fenómenos que pueden ser descritos por un crecimiento exponencial, al menos durante un ciertointervalo de tiempo, son:
1. El volumen de una esfera al crecer.
2. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno.
3. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa coincide con el índice de inflación.
4. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n.
5. El número de operaciones cálculosnecesarios para resolver un problema NP-completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero.
6. El número de bacterias que se reproducen por fisión binaria.
7. El número de miembros en poblaciones de ecosistemas cuando carecen de predador.
Ecuaciones diferenciales
El crecimiento es exponencial cuando el crecimiento de la función en un puntoes proporcional al valor de la función en ese punto, lo que se puede expresar en mediante la ecuación diferencial de primer orden:

Donde es el valor inicial de la magnitud cuyo crecimiento exponencial se está estudiando (es decir, el valor de la magnitud para t = 0). La solución esta ecuación (1) para cualquier instante de tiempo posterior es simplemente:

Para t > 0 puede verse que(siempre y cuando el crecimiento sea positivo r > 0).
Catástrofe malthusiana
La catástrofe malthusiana debe su nombre al demógrafo y economista político conservador Thomas Robert Malthus y la visión pesimista del crecimiento de población expuesta en su obra Ensayo sobre el principio de la población. Las tesis de Malthus aunque desajustadas a los hechos, tuvieron gran influencia política. Malthus llegóa afirmar que el crecimiento de la población libre de contenciones era un crecimiento exponencial, mientras que la producción de alimentos según su argumento era un crecimiento lineal. Puesto que la tasa de crecimiento de la población era más acelerada que la de alimentos a partir de un cierto umbral de población, Malthus pronosticó que habría una escasez de alimentos y una gran hambruna hacia...