criptografía aritmética

INDICE
´
1. INTRODUCCION

1

2. ARITMETICA MODULAR I

3

2.1 Adici´n, substracci´n y multiplicaci´n
o
o
o
2.1 Divisi´n
o
∗ Ecuaciones
∗ Elementos invertibles
2.3 N´meros primos
u
∗ Tecnolog´ al rescate
ıa
3. LO QUE ES DEL CESAR
3.1 Nomenclatura
3.2 C´digo del C´sar
o
e
∗ Tabla de equivalencia num´rica (TEN)
e
∗ Funci´n de encriptar
o
∗ Clave privada
∗Criptoan´lisis
a
2.3 C´sar mejorado
e
Criptoan´lisis
a
4. ARITMETICA MODULAR II: INVERSOS
4.1 C´lculo de inversos
a
4.2 M´ximo Com´n Divisor
a
u
∗ Divisi´n larga
o
∗ Tecnologia al rescate
5. MATRICES Y DIGRAF´
IAS
5.1 M´todo de eliminaci´n
e
o
5.2 Matriz inversa
5.3 C´culo de la matriz inversa
a
6. SUPERPOTENCIAS

3
4
4
4
5
6
8
8
8
8
9
9
10
10
12
13
13
13
14
15
1718
20
21
23

6.1 Petit Fermat
6.2 Teorema de Euler

23
24

i

7. GRANDES LIGAS

26

7.1
7.2
7.3
7.4

DES
Clave p´blica.
u
N´meros de base 27.
u
RSA. (Rivest, Shamir y Adleman)
∗ Generaci´n de claves
o
∗ Mensaje en acci´n
o
∗ Alicia en acci´n
o
∗ Bernardo en acci´n
o
∗ Alicia de nuevo
∗ Intruso en acci´n
o
7.5 ¿Por qu´ funciona RSA?
e

8. IINTERCAMBIO DECLAVES: Diffie-Hellman
8.1 Logaritmos discretos
El problema de los logaritmos discretos
8.2 Intercambio de claves Diffie-Hellman
∗ Acuerdo p´blico en acci´n
u
o
∗ Intercambio de claves en acci´n
o
∗ Intruso en acci´n
o

BIBLIOGRAFIA

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26
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28
28
29
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30
30
30
31
32
32
33
33
34
34
34

36

APENDICE: Programas para calculadora TI
• Potencias
• Inverso
• Bezout
•Primalidad

ii

37

´
§1. INTRODUCCION.

En m´s de una ocasi´n debes haber querido enviar un mensaje a un amigo y deseado que
a
o
ning´n intruso se entere del contenido. En alguna otra ocasi´n, tal vez t´ mismo, has sido el
u
o
u
intruso que trataba de conocer el contenido de mensajes ajenos, o no tan ajenos. Los seres
humanos, a trav´s de la historia, han inventado mecanismospara proteger los mensajes y
e
ponerlos a salvo del ataque de intrusos. Y, como intrusos, tambi´n han utilizado el poder
e
de su inteligencia para descifrar mensajes supuestamente bien protegidos. No poco esfuerzo
se invierte en esta tarea, pues muchas veces lo que se desea proteger es de gran valor, como
la identidad de un ser humano, la seguridad de una transacci´n comercial o la libertad deo
un pueblo. La ciencia (o el arte) de proteger informaci´n, as´ como ponerla al descubierto,
o
ı
se llama criptograf´ y su origen es tan antiguo como la historia misma. Etimol´gicamente
ıa
o
criptograf´ viene del griego kryptos que significa oculto. Otras palabras de igual origen son
ıa
“cr´
ıptico” y “cripta”. La primera significa “inentendible”, la segunda describe el lugar ocultodonde se mantienen restos de muertos ilustres.
T´, el mensaje, el amigo y el intruso definen los cuatro elementos b´sicos de la cripu
a
tograf´ Esta tiene entonces la doble misi´n de
ıa.
o

i. crear m´todos para codificar mensajes y hacerlos cr´
e
ıpticos, es decir, protegerlos de los
ataques de intrusos y,
ii. crear m´todos para quebrar los c´digos ajenos, es decir, hacer entendibles losmensajes
e
o
cr´
ıpticos.

Hay en la historia universal eventos en los que ambas misiones de la criptograf´ han
ıa
jugado roles de trascendental importancia. Durante la segunda guerra mundial los Estados
Unidos usaron el lenguaje de los indios navajos, con traductores navajos, para enviar mensajes
a los comandos en el frente del Pac´
ıfico. Ni japoneses ni alemanes pudieron descifrar lacompleja sintaxis del lenguaje. Por otra parte, es conocido el hecho, tambi´n de la segunda
e
guerra mundial, de c´mo la inteligencia brit´nica, con ayuda del espionaje checoslovaco, fue
o
a
capaz de descifrar los mensajes codificados del alto comando alem´n a la flota del Atl´ntico,
a
a
hecho que ayud´ a cambiar el destino de la guerra.
o
La criptograf´ es una necesidad del mundo...