Criterio de jury

Capítulo 4: Estabilidad. Criterio de Jury

Capítulo 4. ESTABILIDAD. CRITERIO DE JURY.

- 99 -

Sistemas de Control en Tiempo Discreto

4.1 INTRODUCCIÓN.
A continuación analizaremos la estabilidad de los sistemas de control en tiempo discreto lineales e invariantes con el tiempo. En concreto, nos centraremos en el criterio de estabilidad de Jury, que es un método para saber si las raícesde un polinomio están dentro, fuera o en el círculo unidad, sin necesidad de calcular dichas raíces. Uno de los temas más importantes dentro de la teoría de control es el análisis de la estabilidad de los sistemas, ya que uno de los primeros objetivos que se pretenden alcanzar al diseñar un sistema de control, es que dicho sistema sea estable. Se dice que un sistema discreto es estable si, antecualquier secuencia de entrada acotada, la secuencia de salida es también acotada. Si existe alguna secuencia acotada de entrada ante la cual la secuencia de salida no lo es, el sistema será inestable. [REF. 1]. El objetivo de este capítulo es mostrar el criterio de estabilidad de Jury, e implementarlo como una función de Maple. El algoritmo en cuestión se puede encontrar en [REF. 2].

4.2CRITERIO DE ESTABILIDAD DE JURY.
La prueba de estabilidad de Jury es un algoritmo que se aplica directamente sobre los coeficientes de un polinomio, sin tener que resolver las raíces. Dicho polinomio será la ecuación característica P(z) = 0. Esta prueba revela la existencia de cualquier raíz inestable (raíces en el plano z que se presentan fuera del círculo unitario). Sin embargo, no da la localizaciónde las raíces inestables. Se limita a comprobar si las raíces de la ecuación característica P(z) = 0 están dentro del círculo unidad.

- 100 -

Capítulo 4: Estabilidad. Criterio de Jury

Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dada P(z) = 0, construimos una tabla cuyos elementos se basan en los coeficientes de P(z). Supongamos que la ecuacióncaracterística P(z) es un polinomio en z como el siguiente:
(n − 1) n P ( z ) = a 0 z + a1 z

donde a0 > 0 Entonces la tabla de Jury se construye como se muestra a continuación:

  Fila    1     2    3     4     5    6     .    .   2 n − 5    2 n − 4    2 n − 3 

z

0

z an − 1 a1 bn − 2 b1 cn − 3 c1

z

2

z

3

... ... ... ... ... ... ...

z(n − 2) a2

z

(n − 1) a1

an a0 bn − 1 b0 cn − 2 c0 . . p3 p0 q2

an − 2 a2 bn − 3 b2 cn − 4 c2

an − 3 a3 bn − 4 b3 cn − 5 c3

an − 2 b1 bn − 2 c0 cn − 2

an − 1 b0 bn − 1

p2 p1 q1

p1 p2 q0

p0 p3

n z    a0    an                                 

- 101 -

Sistemas de Control en Tiempo Discreto

Los elementos de la primerafila están formados por los coeficientes en P(z) ordenados en orden de potencias ascendentes de z. Los elementos de la segunda fila son los mismos, pero en orden inverso (potencias descendentes de z). Los elementos de las demás filas se obtienen mediante los siguientes determinantes:

an  bk = det  a   0

an − 1 − k     ak + 1  

k = 0, 1, 2, ..., n-1

bn − 1  ck = det   b  0

bn − 2 − k     bk + 1  

k = 0, 1, 2, ..., n-2

y así sucesivamente hasta llegar a

p3  qk = det  p   0

p2 − k     pk + 1  

k = 0, 1, 2

Nótese que la última fila de la tabla está formada por tres elementos. Para sistemas de segundo orden, 2 n − 3 = 1 y la tabla de Jury está formada por una sola fila, de tres elementos. Los elementos de las filas pares sonlos mismos que los de la fila impar anterior, pero en orden inverso.

- 102 -

Capítulo 4: Estabilidad. Criterio de Jury

Criterio de estabilidad mediante la prueba de Jury. Un sistema con la ecuación característica P(z) = 0 dada en potencias de z de la forma

(n − 1) n P ( z ) = a 0 z + a1 z

donde a0 > 0, es estable (todas sus raíces dentro del círculo unitario), si todas las...