1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
(1.8_CvR_T_061, Revisión: 22-09-06, C8, C9, C10)

1.8.1. INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie:
SN = ∑ an = a0 + a1 + a2 + ....+ aN → Suma de Ntérminos.
n= 0 N

Si N es finito, la suma (SN) también es finita. Problema fundamental: ¿Qué pasa cuando N → ∞? Si SN tiene un valor finito cuando N → ∞, se dice que la serie converge. Consideremos S N =∑ a n = 1 + a + a 2 + ... + a N → Serie geométrica
n =0 N

Forma cerrada: SN = ∑ a n = Para N → ∞:

1 − a N +1 1 a N +1 = − 1− a 1− a 1− a n=0 ∞ 1 SN = ∑ a n = , a N(ε) → TEOREMA DE CONVERGENCIADE CAUCHY

SN→ suma de N términos, ε → número positivo arbitrariamente pequeño Para la serie geométrica: ⎛ 1 1 a N +1 ⎞ N (ε ) = Lnε (1 − a) − 1 ⇒ Siempre que a < 1 podemos encontrar un valor de Nque Ln(a) satisfaga este criterio y la serie converge.

1.8.2.

PRUEBAS DE CONVERGENCIA.
∞ n =1

Utilicemos la serie genérica dada por: S = ∑ an

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Prueba de comparación.
Dada una serieconvergente con términos bn, an converge si an ≤ bn, ∀n. Si la serie con términos bn diverge y an > bn, entonces an también diverge. Sin embargo, si bn converge y an > bn, esta prueba no determina sian es divergente; similarmente, si bn diverge y an < bn, an puede o no ser divergente. Ejemplo 1: ∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ n2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + ..... n =1
2términos 4 términos8 términos

Podemos acotar cada suma parcial notando que:

1 1 1 1 1 + < + = 4 9 4 4 2 1 1 1 4 1 + + + < = 16 25 36 49 16 1 1 1 8 + + ... + 2 < = 64 81 15 64

⎫ ⎪ ⎪ n ∞ ∞ 1 1⎪ 1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎬ ⇒ ∑ <1 + + + + ..... = ∑ ⎜ ⎟ → SERIE GEOMETRICA ⎝ ⎠ 4 ⎪ n =1 n 2 2 4 8 n=0 2 1⎪ 8⎪ ⎭ n ∞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ∴ ⎜ 2 ⎟ < ⎜ ⎟ ⇒ ∑ ⎜ 2 ⎟ es convergente ⎝ n ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ n =1 n

Ejemplo 2: ∞ ∞ 1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞ 1 1 =1 + + + + + .... Comparada con: ∑ ⎜ ⎟ = + + .... → Serie divergente ∑n ⎝ ⎠ 2 2 2 3 4 5 n =1 n =1 2

1 1 2 1 + > = 3 4 4 2 1 1 1 1 4 + + + > = 5 6 7 8 8 →

⎫ ∞ ∞ ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎛ 1⎞ ⇒ ∑ > 1 + + +... [continua]

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