Criterios de convergencia para series

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1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES
(1.8_CvR_T_061, Revisión: 22-09-06, C8, C9, C10)

1.8.1. INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie:
SN = ∑ an = a0 + a1 + a2 + ....+ aN → Suma de N términos.
n= 0 N

Si N es finito, la suma (SN) también es finita. Problema fundamental: ¿Qué pasa cuando N → ∞? Si SN tiene un valor finito cuando N → ∞, se dice que la serie converge. Consideremos S N =∑ a n = 1 + a + a 2 + ... + a N → Serie geométrica
n =0 N

Forma cerrada: SN = ∑ a n = Para N → ∞:

1 − a N +1 1 a N +1 = − 1− a 1− a 1− a n=0 ∞ 1 SN = ∑ a n = , a N(ε) → TEOREMA DE CONVERGENCIA DE CAUCHY

SN→ suma de N términos, ε → número positivo arbitrariamente pequeño Para la serie geométrica: ⎛ 1 1 a N +1 ⎞ N (ε ) = Lnε (1 − a) − 1 ⇒ Siempre que a < 1 podemos encontrar un valor deN que Ln(a) satisfaga este criterio y la serie converge.

1.8.2.

PRUEBAS DE CONVERGENCIA.
∞ n =1

Utilicemos la serie genérica dada por: S = ∑ an

55

Prueba de comparación.
Dada una serie convergente con términos bn, an converge si an ≤ bn, ∀n. Si la serie con términos bn diverge y an > bn, entonces an también diverge. Sin embargo, si bn converge y an > bn, esta prueba no determinasi an es divergente; similarmente, si bn diverge y an < bn, an puede o no ser divergente. Ejemplo 1: ∞ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ n2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + ..... n =1
2términos 4 términos 8 términos

Podemos acotar cada suma parcial notando que:

1 1 1 1 1 + < + = 4 9 4 4 2 1 1 1 4 1 + + + < = 16 25 36 49 16 1 1 1 8 + + ... + 2 < = 64 81 15 64

⎫ ⎪ ⎪ n ∞ ∞ 1 1⎪ 1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎬ ⇒∑ < 1 + + + + ..... = ∑ ⎜ ⎟ → SERIE GEOMETRICA ⎝ ⎠ 4 ⎪ n =1 n 2 2 4 8 n=0 2 1⎪ 8⎪ ⎭ n ∞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ∴ ⎜ 2 ⎟ < ⎜ ⎟ ⇒ ∑ ⎜ 2 ⎟ es convergente ⎝ n ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ n =1 n

Ejemplo 2: ∞ ∞ 1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞ 1 1 = 1 + + + + + .... Comparada con: ∑ ⎜ ⎟ = + + .... → Serie divergente ∑n ⎝ ⎠ 2 2 2 3 4 5 n =1 n =1 2

1 1 2 1 + > = 3 4 4 2 1 1 1 1 4 + + + > = 5 6 7 8 8 →

⎫ ∞ ∞ ⎪ 1 1 1 ⎪ ⎛ 1⎞ ⇒ ∑ > 1 + + + ...> ∑ ⎜ ⎟ ∴ la serie diverge ⎬ ⎝ ⎠ 1 ⎪ n =1 n 2 2 n =1 2 2⎪ ⎭

Prueba de la razón.
La serie genérica converge si: r = lim
an +1 1 la serie diverge, y si r =1 el criterio no es suficiente para decidir; sin embargo, si para r =1 podemos demostrar que:
⎧r ′ > 1 convergente an +1 r′ ⎪ : 1 − ⇒ ⎨r ′ < 1 divergente an n ⎪r ′ = 1 la prueba no decide ⎩

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Ejemplos:
⎛ n + 1 3n ⎞ n ⎛ 1 n +1⎞ 1 a)∑ n r = lim ⎜ n +1 ⋅ ⎟ = lim ⎜ ⎟ = 1 → serie convergente p < 1 → serie divergente p =1 no hay decisión ⎛ cos n ⎞ d) ∑ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ n =1 2n − 1
2 ∞ 2

1 ⎛ 1 ⎞ cos n < 1 ∀n ⇒ an < ⎜ ⎟ = 2 ⎝ 2n − 1⎠ x ⎛ 1⎞ ∴ an = O ⎜ 2 ⎟ ⇒ la serie es convergente por comparación con una serie p (p=2). ⎝n ⎠

2

Prueba de la integral.

∑ f (n) con f disminuyendo monotónicamente converge o diverge si
diverge cuandoL→ ∞.



∫ f ( x)dx converge o

L

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f

Área de rectángulos ∞ lim L ∼ ∑ f (n) < f (x)dx L → ∞∫ 2 1
∴ si





1

f (x)dx converge ⇒ serie converge

1 f

2

3

n, x

∑ f (n)dx > ∫ f ( x)dx
1 1





Si ∫ f (x)dx no converge ⇒ la serie no converge
1



1

2

3

n, x

Nótese que es irrelevante el límite inferior de la integral, lo que importaes el límite cuando L→∞

Ejemplos: ∞ L dx 1 a) ∑ diverge pues lim ∫ = lim Ln( L) → ∞ L →∞ x L →∞ 1 n ∞ L dx 1 ⎛ 1⎞ b) ∑ 2 converge pues lim ∫ 2 = lim ⎜ − ⎟ → 0 L →∞ L →∞ x ⎝ L⎠ 1 n
Otros ejemplos:

⎛ cos n ⎞ Consideremos la serie ∑ ⎜ ⎟ . Nótese que: n =1 ⎝ 2 n − 1 ⎠



2

⎛ cos n ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ cos 2 n < 1∀n, an = ⎜ ⎟ 1 , y diverge si p ≤ 1 . n lim ∫
L

Podemos también analizar elorden de los términos de la serie. Por ejemplo, si consideramos: 3n 2 + 4n + 6 3 ∼ 2 cuando n → ∞ f ( n) = 4 3 n + 2n + 4n + 2 n L 3 Con la prueba de la integral lim ∫ 2 dx , podemos ver que la serie es convergente. L →∞ x Similarmente: 2 L dx e− n 1 1 f (n) = < < 2 n ≥ 1 . En este caso podemos considerar: lim ∫ 2 y la serie L →∞ 1 + n2 1 + n2 n x es convergente.

Series con signos...
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