Criterios de convergencia

Páginas: 10 (2476 palabras) Publicado: 13 de febrero de 2015
Criterios de Convergencia P La pregunta que nos planteamos es la siguinte: Si hacemos que N → ∞ entonces ¿la suma N k=1 ak, tiene un l´ımite? Existen algunas formas de averiguarlo, a pesar de que s´olo podremos calcular la suma de algunas series. En la mayor´ıa de los casos nos ser´a imposible y nos tendremos que conformar con saber si convergen o no, o peor a´un, si una suma parcial converge sinpoder calcular el valor de esa suma. Los t´erminos de una serie pueden ser positivos, negativos o n´umeros complejos y las series pueden converger (decrecer o crecer hacia un valor finito) diverger (incrementar o decrecer indefinidamente) u oscilar, Existen una serie de criterios y teoremas de aplicaci´on general que expondremos a continuaci´on. 1. Convergencia Absoluta o Condicional Paraestudiar la convergencia de una serie infinita dada, i.e., Pai veremos que siempre podremos asociarle otra de la forma P|ai |, es decir la serie de valores absolutos, con lo cual garantizamos la positividad (y que sean n´umeros reales) de los t´erminos de la serie. Si la serie de los valores absolutos P|ai P | converge, entonces tambi´en coverger´a la serie original ai y diremos que esa serie esabsolutamente convergente. Sin embargo si la serie de valores absolutos diverge, no podremos decir que Pai converja. De hecho si converge diremos que es condicionalmente convergente y, con un rearreglo de sus t´erminos podr´a converger, diverger u oscilar. Teorema: Si P|an| converge, entonces tambi´en converge Pan y se tiene que X∞ n=1 an ≤ X∞ n=1 |an| Para una serie de t´erminos positivos elcriterio de convergencia m´as intuitivo (necesario pero no suficiente) es que en l´ımite cuando n → ∞ el t´ermino n-´esimo tienda a cero. Con lo cual tenemos que si esta condici´on no se satisface, la serie diverge. Teorema: Si la serie Pan converge, el t´ermino n-´esimo tiende a cero, esto significa que: l´ımn→∞ an = 0 . Notemos que para la serie P∞ n=1 1/n se tiene que l´ımn→∞ 1 n = 0 , sinembargo, como ya vimos anteriormente, esta serie diverge. Esto significa que el teorema suministra una condici´on suficiente para que exista la divergencia de la serie, es decir, si para H´ector Hern´andez / Luis N´u˜nez 1 Universidad de Los Andes, M´eridaSemana 1 - Clase 3 20/10/10 Tema 1: Series el t´ermino n-´esimo de la serie an no se cumple que tiende a cero cuando n → ∞, entonces la serie Pandiverge. Una serie que es convergente pero que no es absolutamente convergente es la siguiente X∞ n=1 (−1)n+1 1 n = 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + • • • = ln(2) porque ya vimos que la serie de los valores absolutos asociada a la serie anterior es X∞ n=1 1 n la cual diverge. 2. Criterio de Comparaci´on En segundo lugar de simplicidad est´a el criterio de comparaci´on entre un par de series de t´erminospositivos. Si conocemos el comportamiento de una de ellas comparamos el de la otra. Esto es, suponga que consideramos dos series: una de prueba P∞ n=0 an y una serie conocida y convergente (o divergente) P∞ n=0 a˜n, entonces Si X∞ n=0 a˜n converge y ∀ n se tiene que ˜an > an ⇒ X∞ n=0 a˜n > X∞ n=0 an ⇒ X∞ n=0 an converge Por otro lado Si X∞ n=0 a˜n diverge y ∀ n se tiene que 0 6 a˜n 6 an ⇒ X∞ n=0 a˜n 6 X∞n=0 an ⇒ X∞ n=0 an diverge Ejemplo Para ilustrar esta estrategia consideremos las siguientes series 1 2 + 1 3 + 1 7 + 1 25 + • • • = X∞ n=1 1 n! + 1 En ese caso compararmos con una serie conocida X∞ n=0 1 n! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + • • • = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! + • • • | {z } e = 1 + e H´ector Hern´andez / Luis N´u˜nez 2 Universidad de Los Andes, M´eridaSemana 1 - Clase 3 20/10/10 Tema 1:Series y es claro que la serie indicada no es otra cosa que e, con lo cual la serie claramente converge y su suma es 1 + e. 3. Criterio de la Ra´ız Dada una serie de t´erminos positivos P∞ n=0 an, el criterio de la ra´ız (o tambi´en de la ra´ız de Cauchy) puede resumirse en el siguiente par de afirmaciones. S´ı: (an) 1 n 6 ρ < 1 para un n suficientemente grande y ρ independiente de n =⇒ converge...
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