Criterios de derivadas

Solo disponible en BuenasTareas
  • Páginas: 8 (1919 palabras)
  • Descarga(s): 0
  • Publicado: 8 de abril de 2011
Leer documento completo
Vista previa del texto
MAXIMOS Y MÍNIMOS EN UNA FUNCIÓN
Una función f(x) tiene en x = a un máximo cuando a su izquierda la función es creciente y a su derecha decreciente. Y tiene un mínimo, si a su izquierda la función es decreciente y a su derecha creciente.  El hecho de que la interpretación geométrica de la derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto determinado es muyútil para el trazado de las gráficas de funciones. Por ejemplo, cuando la derivada es cero para un valor dado de x (variable independiente) la tangente que pasa por dicho punto tiene pendiente cero y, por ende, es paralela al eje x.

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MAXIMOS Y MINIMOS

1.- obtener la primera derivada.
2.- igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
3.- Elvalor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.
4.- se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.
Cuandoexisten dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.
5.- sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, correspondea las coordenadas de un punto crítico.

EJEMPLO
Una empresa ha calculado que su ingreso total por un cierto producto esta dado por la ecuación y=-x³+450x²+52500x pesos. Donde x es el numero de unidades producidas; ¿Que cantidad de producción dará un ingreso máximo?
y = -x³ + 450x² + 52500x

hallamos la primera derivada de la función de ingresos con respecto al número de unidades:

y' =-3x² + 900x + 52500

Para hallar los máximos y mínimos de una función, igualamos la primera derivada a 0:

y' = -3x² + 900x + 52500 = 0

dividimos entre 3:

-x² + 300x + 17500 = 0

multiplicamos por -1:

x² - 300x - 17500 = 0

para hallar las soluciones de la ecuación anterior podemos utilizar dos vías, una aplicar la fórmula general para resolver una ecuación de 2do grado y otra tratarde factorizar la ecuación. Tratemos de factorizar la ecuación buscando dos números que sumados den -300 y multiplicados den -17500. Probemos con -350 y 50:

-350 + 50 = -300

(-350) (50) = -17500

si se cumple, por lo tanto:

x² - 300x - 17500 = (x - 350)(x + 50) = 0 =>

x₁= 350

x₂= -50

descartamos el valor negativo, ya que si la producción es negativa no hay ganancia, por lotanto cuando x = 350 unidades, el ingreso es máximo

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.Este procedimiento consiste en:
1.- calcular la primera y segunda derivadas
2.- igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.
3.- sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.
Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.
Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o noun máximo o mínimo.
4.- sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.
Cóncava hacia abajo. Se dice que una función es  cóncava  hacia abajo cuando la primera derivada es  creciente en un intervalo abierto (a,b)

EJEMPLO 1:
Aplicar el criterio de la segunda derivada para verificar si la función...
tracking img