Cuadrados mágicos

¿Cu´ndo un problema est´ resuelto ? a a
´ Cesar Flores S. ´ ´ Departamento de Matematica Universidad de Concepcion e-mail: cesflore@udec.cl

1.1.

Respuestas completas e incompletas

En el caso del segundo problema, podemos tratar de hacernos una idea probando con algunos valores de n en la expresi´n. As´ se tiene o ı, F (1) = 43, es primo. F (2) = 4 + 2 + 41 = 47 es primo. F (3) = 9 + 3 +41 = 53 es primo. F (4) = 16 + 4 + 41 = 61 es primo. F (5) = 25 + 5 + 41 = 71 es primo. ...

Al enfrentar una situaci´n problem´tica o o a un ejercicio matem´tico, luego de meditar un a tiempo se puede llegar a un “sospechoso” de soluci´n o conjetura. Por ejemplo: o
Problema 1. ¿Puede recorrerse un tablero de 3x3 con los movimientos de un caballo? (Pasando una sola vez por cada casillero)Problema 2. Para n = 1, 2, ..., la expresi´n o F (n) = n2 + n + 41

¿Es necesario verificar m´s y m´s ? La conjea a tura aqu´ es entonces ı ¿Es siempre un n´mero primo? u –) La expresi´n F (n) siempre da un n´mero o u En el primer problema, luego de hacer varios primo y justificar con intentos, –) Al ir reemplazando se ve claramente que 1 4 7 4 7 2 siempre va a dar un n´mero primo. u 6 2 1 5Nuevamente estamos frente a una respuesta 3 8 5 6 3 8 poco satisfactoria, pues el hecho que algo se Figura: El 1 indica la posici´n de partida del caballo, cumpla para algunos valores no significa que o y luego se indican los sucesivas posiciones siguiendo se cumpla para todos los valores posibles (que son infinitos). mocimientos en forma de L puede sospecharse que no es posible llenar el tablero de 3x3.La conjetura es entonces –)No, no es posible recorrer un tablero de 3x3 con los movimientos de un caballo y justificar esta respuesta diciendo –)Trat´ de hacerlo y nunca pude. e Claramente, la respuesta no es satisfactoria, pues el decir “yo no pude” no es lo mismo que decir “no se puede”. 1

C ´ e s a r F l o r e s

Veamos entonces una respuesta para el Problema 1. Esta consiste en notar queel casillero central nunca puede ser alcanzado. S. Por ejemplo: –) No puede recorrerse el tablero de 3x3. Si comienzo del casillero central, no puede saltarse a ninguna otra casilla. Si comienzo de un casillero en el borde, no puede alcanzarse el central

2 N´tese la diferencia de rigor entre las respueso tas. La primera es una afirmaci´n dudosa, o basada en una convicci´n personal. La segunda oes una argumentaci´n incontestable, es decir, o una demostraci´n matem´tica en toda regla. o a En el caso del Problema 2, la respuesta dada no s´lo es incompleta, sino que err´nea. En o o efecto, es tan cierto el hecho de que si algo se verifica para algunos n´meros no necesariau mente se verifica para todos los n´meros que u aqu´ lo afirmado en realidad no es cierto. La ı respuesta correcta es –)Laexpresi´n F (n) NO siempre da un o n´mero primo. u En efecto, podr´ ıamos seguir intentando para distintos valores de n ¡Incluso hasta n = 39 siempre da un n´mero primo ! Pero para n = u 40 se tiene F (40) = 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 = 40 × 41 + 41 = 412
Problema 3 . ¿Existen cuadrados m´gicos para la a ? ? suma de 2x2 ? ? ?

Primero, recordemos que un cuadrado m´gia co para la suma debetener la misma suma en sus filas, columnas y diagonales. Adem´s, a no puede tener el mismo n´mero en todos sus u 1 1 67 67 casilleros, as´ ı, o no valen 1 1 67 67 como cuadrados m´gicos (no tienen nada de a m´gicos, es verdad). a C Nuevamente, se pueden hacer varios intentos y conjeturar que la respuesta es que no existen. Sin embargo, ya estamos prevenidos contra las respuestas del tipo –)Noexisten, pues no he podido encontrar uno. Pero entonces, ¿c´mo demostrarlo? o Bueno, supongamos que se pudiera llenar las casillas formando un cuadrado m´gico: a
´ e s a r F l o r e s

S. a b es un cuadrado perfecto, y no es primo. En este caso, la justificaci´n de nuestra conjetura o c d es m´s simple a –) La expresi´n F (n) no siempre da un La suma de las filas, columnas y diagonales o n´mero...