Cuadratica ejercicios

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¡No todo es un perfecto cuadrado!

El gerente de marketing en conjunto con el contador le presentaron a los accionistas de una importante empresa de celulares, la siguiente función que determina el beneficio que auguran en millones de pesos en un tiempo estimado en semanas luego de la masiva aparición de un comercial en los canales más importantes del país, para lograr imponer sus productosen el mercado.
B(t) = t2 - 20 t + 51

1. ¿Cuál es el beneficio inicial en el momento de la aparición del comercial?
2. ¿Cuál será el beneficio augurado luego de 1 semana de la aparición del comercial?
3. ¿En qué semanas el beneficio de la empresa será nulo?
4. Realizar un bosquejo de la gráfica.

1.
B(t) = t2 - 20 t + 51
B(0) = (0)2 - 20 (0) + 51
B(0) = 51

El beneficio alinicio del comercial es de 51 millones de pesos.

2.
B(t) = t2 - 20 t + 51
B(1) = (1)2 - 20 (1) + 51
B(1) = 32

En este caso el beneficio obtenido por la empresa bajara a 32 millones de pesos.

3.
B(t) = t2 - 20 t + 51
0 = t2 - 20 t + 51
0 = t2 - 20 t + 100 - 100 + 51

0 = ( t - 10 )2 - 49
49 = ( t - 10 )2
7 = ( ( t - 10 ) (( x = 17 ( x = 3

En la tercerasemana y en la semana diecisiete el beneficio obtenido será nulo.

4.

Esta secuencia de pasos que realizamos para calcular raíces en el ejercicio 3 se llama... completar cuadrados.

Practicamos!

a) Y = x2 –2x –1
b) Y = x2 + 8x + 13
c) Y = x2 - 14 x + 20
d) Y = 2 x2 - 8x + 10

a)
Y = x2 –2x –1
Y = x2 –2x + 1 - 1 –1

Y = ( x - 1 ) 2 - 1 –1
Y = ( x - 1 ) 2 - 2

b)
Y = x2 +8x + 16
Y = x2 + 8x +16 - 16 + 13

Y = ( x + 4 ) 2 - 16 + 13
Y = ( x + 4 ) 2 - 3

c)
Y = x2 - 14 x + 20
Y = x2 - 14 x +49 - 49 + 20

Y = ( x - 7 )2 - 49 + 20
Y = ( x - 7 )2 - 29

d)
Y = 2 x2 - 8x + 10
Y = 2 [ x2 - 4 x + 5 ]
Y = 2 [ x2 - 4 x +4 - 4+ 5 ]

Y = 2 [ ( x - 2) 2 + 1 ]
Y = 2 ( x - 2) 2 + 2

Los pasos que debes realizar para calcular las raícescompletando cuadrados, se pueden complicar según los coeficientes de la función y/o ecuación cuadrática que tengas. Por ejemplo: 0 = (- x )2 + 4,3 x + 5,3 , qué difícil encontrar el binomio al cuadrado, ¿Por qué?

En algunos casos nos quedarían expresiones donde completar cuadrados nos seria muy difícil de resolver, por lo tanto dicho camino para encontrar las raíces de una función cuadráticaseria largo y tedioso.

Entonces, te mostraremos una generalización de este camino, y así podremos encontrar una fórmula que permita calcular directamente las raíces de la ecuación.

Sigue atentamente los pasos:

a x2 + b x + c = 0 ecuación general cuadrática ( a ( 0)
4 a2 x2 +4 a b x +4 a c = 0 equivalente a la anterior, multiplicada por... 4 a
4 a2 x2 +4 a b x + 4 a c + b2 - b2 =0 sumamos y restamos... b2
4 a2 x2 +4 a b x + b2 + 4 a c - b2 = 0 ordenamos

( 2 a x + b)2 + 4 a c - b2 = 0 cuadrado de binomio, ¿Por qué?...

( 2 a x + b)2 = b2 - 4 a c

( 2 a x + b ( = b2 - 4 a c

entonces las raíces son:

x1 = - b +( b2 - 4 a c x2 = - b - ( b2 - 4 a c
2 a 2 a

con lo cual x1 = - b ( ( b2 - 4a c
2 a

Es la fórmula que encuentra las raíces de una función cuadrática y por eso se la llama fórmula resolvente para ecuaciones cuadráticas.

Y escribimos la expresión factorial como: a ( x - x1 ) ( x - x2 )

Apliquemos esta fórmula al ejercicio anterior (empresa de celulares)

Resumiendo, podemos expresar la ecuación de una función cuadrática como muestra el siguiente cuadro:|Forma |Expresión |Parámetros |
|Polinómica o General |Y= a x2 + b x + c , a ( 0 |a, b, c |
|Canónica |Y= a (x - p)2 + k |a, p, k...
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