cuadratura de gauss

CUADRATURA DE GAUSS
En análisis numérico un método de cuadratura es una aproximación de una integral definida de una función. Una cuadratura de Gauss n, es una cuadratura que selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma igualmente espaciada, construida para dar el resultado de una polinomio de grado 2n-1 o menos, elegibles para los puntos xi y loscoeficientes wipara i=1,...,n. El dominio de tal cuadratura por regla es de [−1, 1]dada por:

Tal cuadratura dará resultados precisos solo si f(x) es aproximado por un polinomio dentro del rango [−1, 1]. Si la función puede ser escrita como f(x)=W(x)g(x), donde g(x) es un polinomio aproximado y W(x) es conocido.


Suponga que la restricción de los puntos base fijos fue eliminada y se tiene la
libertad deevaluar el área bajo una línea recta que conecta dos puntos cualquiera sobre la
curva. Al ubicar esos puntos en forma inteligente, podríamos definir una línea recta que
equilibraría los errores negativo y positivo. De ahí que, como en la figura 22.5b, podríamos
llegar a una evaluación mejorada de la integral.

Cuadratura de Gauss es el nombre para una clase de técnicas para implementar talestrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura de Gauss descritas en esta sección se
denominan fórmulas de Gauss-Legendre. Antes de exponer el procedimiento, mostraremos
cómo las fórmulas de integración numérica tales como la regla trapezoidal pueden
derivarse mediante el método de coeficientes indeterminados. Este método entonces se
empleará para desarrollar las fórmulas deGauss-Legendre.

Método de coeficientes indeterminados:

Este es un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, éste sólo se aplica a una clase restringida de ecuaciones. No obstante, la ventaja consiste en que, cuando este método es el pertinente, por lo general es más fácil de emplear que los otros métodos.

En primer lugar este método se aplica a ecuaciones del tipo:
donde las sonconstantes y es una función que se puede anular mediante la aplicación de un operador con coeficientes constantes. Así que, por ejemplo, no se puede emplear este método para resolver una ecuación de la forma (1), en el cual Como preparación para el método de coeficientes indeterminados, reescribimos (1) en notación operacional:

Ahora estamos listos para establecer el procedimiento general. Porevidencia, hemos dividido este procedimiento en tres etapas.
Etapa I Para resolver la ecuación (2), comenzamos por encontrar un operador con coeficientes constantes que anule a (Si no existe dicho operador el método no se aplica). Se aplica el operador en ambos miembros de (2), obteniendo una ecuación lineal homogénea de orden más alto:

en la cual, el primer factor del operador es el anulador de Etapa II Enseguida, se resuelve (3) mediante el método de ecuaciones con coeficientes constantes. La ecuación auxiliar ya se encuentra parcialmente factorizada, lo cual nos ahorra algo de trabajo:

Obtenemos la solución completa de (3):

Comparando (4) con la solución de la ecuación homogénea relacionada asociada con (2), decidiremos, cuáles de los coeficientes son arbitrarios para lasolución de (2). Los coeficientes restantes serán los coeficientes indeterminados.
Etapa III Los términos de (4) que contienen los coeficientes indeterminados constituyen una solución de (2). Sustituimos la suma de estos términos en (2) para determinar los valores de los coeficientes indeterminados. Por último, se introducen estos valores en (4).
Ejemplo. La ecuación se resuelve de la siguiente forma:En notación operacional, (5) se transforma en:

Se procede a anular el miembro derecho:

Completando la etapa I del proceso. A continuación, se resuelve (6) formando la ecuación auxiliar:

Y factorizando tenemos:

De las raíces y obtenemos la solución de (6)

en las que se reconocen los dos últimos términos como la solución de la ecuación homogénea relacionada asociada con (5). Por...