cuadratura de gauss

CUADRATURA GAUSSIANAnEste método de basa en muestrear el integrando de la función cuya integral se desea
encontrar, a valores que representan raíces de polinomios ortogonales. Los más populares
de éstos son los polinomios de Legendre.
En general un conjunto de funciones 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) se conocen como ortogonales
en un intervalo a x b , si
b
a

w( x)

m

( x) n ( x) dx 0, m n(1)

Donde w( x ) es una función de ponderación no negativa en a b .
Si las funciones

m

( x) son polinomios, estos se designan como polinomios ortogonales.

POLINOMIOS DE LEGENDRE.
Los primeros cinco polinomios de Legendre son:

P0 ( x) 1
P ( x)
1

x

P2 ( x)

1
2

P3 ( x)

1
2

(5 x

P4 ( x)

1
8

(35 x 4 30 x 2 3)

(3 x 2 1)
3

3 x)

(2)

Elpolinomio de Legendre de grado n se puede obtener por medio d la fórmula de
Rodrigues

Pn ( x)

1 dn 2
( x 1) n
2n n ! dx n

O bien a partir de la fórmula recursiva:

(n 1) Pn 1 ( x) (2n 1) x Pn ( x) n Pn 1 ( x) 0
Las relaciones de ortogonalidad y normalización, con las funciones de ponderación
(peso) igual a 1, son:

1
1

0
2
2n 1

Pn ( x) Pm ( x) dx

Todas las raíces de cadaPn ( x )
intervalo

m

n
(3)

m n

0 son reales y distintas, además están contenidas en el

1 1.

CUADRATURA GAUSSIANA.
El propósito es discutir la fórmula de integración Gaussiana que aproxima
1
1

f ( x) dx

(4)

y mostrar que con un simple cambio de variable se pueden extender los límites de
integración a valores distintos a 1 1 .
La aproximación d la integral definidase puede definir como
1
1

f ( x)

w0 f ( x0 ) w1 f ( x1 ) w2 f ( x2 )

wn f ( xn )

n

wk f ( xk )

(5)

k 0

w0 , w1 , , wn

son los coeficientes ponderados ó pesos.

El problema consiste en encontrar las (2n 2) constantes ( wi , f ( xi )) . Para encontrar las
mencionadas constantes, partimos de la suposición básica de que la fórmula (2)
representa sin aproximación, esdecir, exactamente un polinomio de orden 2n 1 ó
menor.
Primero mostramos que los puntos xk (k
de Legendre Pn 1 ( x) .

0, , n) , son iguales a las raíces del polinomio

Tomemos un polinomio arbitrario g n ( x) de grado n. En términos de polinomios de
Legendre g n ( x) puede expresarse como

g n ( x)

0

P0 ( x)

1

P ( x)
1

n

Pn ( x)

Como ejemplo supongamos

g 2 ( x) 12 x x 2 .

(6)

De la ecuación (6) y (2) obtendremos:

g 2 ( x)

0

1

x

2

2

(3 x 2 1)

2

0

1

2

x

3
2

2

x2

Comparando esta última expresión con la g 2 ( x) inicial obtenemos:

1,

2

0

2

De donde obtenemos finalmente: 0
Sustituyendo esto en (6), obtenemos

g 2 ( x)

4
3

2,

1

4
3

,

1

3
2

2

2,

P0 ( x ) 2P ( x )
1

2

2
3

1,
2
3

.

P2 ( x ) .

Este simple ejemplo muestra que cualquier polinomio g n ( x ) se puede escribir en
términos de polinomios de Legendre.
A partir de la definición de ortogonalidad expresada en (3):
1
1
1
1

g n ( x) Pn 1 ( x) dx
n
0 P ( x) P 1 ( x)
0

1
1

n
1 P ( x) P 1 ( x)
1

1
1

n P ( x) P 1 ( x)
n
n

0

(7)

Observamosque g n ( x) Pn 1 ( x) , es un polinomio de grado 2n 1 , y por tanto representa
exactamente polinomios de grado 2n 1 ó menos, lo cual constituye el requisito básico
mencionado antes, en la definición de la ecuación (5), para la selección de wk y
xk (k 0, , n) .
Comparando (7) con (5) obtenemos:

w0 g n ( x0 ) Pn 1 ( x0 ) w1 g n ( x1 ) Pn 1 ( x1 )

wn g n ( xn ) Pn 1 ( xn )

0

(8)
0, ,n) no es cero en general. Así

Como g n ( x) es un polinomio arbitrario, g n ( xk ) (k
mismo las n 1 funciones de ponderación ó pesos wk (k 0, , n) no pueden ser todos
cero, de lo contrario la ecuación (5) será igual a cero, lo cual constituye el caso trivial.
Dado lo anterior la única condición para la ecuación (8) será:

Pn 1 ( x0 ) 0
Pn 1 ( x1 ) 0

Pn 1 ( xn ) 0
Lo anterior...