Cuadricas y conicas

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Cónicas
 Definición:
Una cónica es el lugar geométrico de los puntos del plano (x, y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado. 
Una cónica queda pues definida  por una matriz simétrica
En lo que sigue denotaremos por Aii  a la matriz adjunta en A del elemento aii   i=0, 1,2.
Ejemplo:
                                        

Las figuras que representan las ecuacionescuadráticas pueden ser, además de elipses, hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto secantes como paralelas y estas últimas pueden ser distintas o coincidentes. También puede darse el caso de que la ecuación sea verificada por un único punto o por ninguno. Alguna de estas últimas también se pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las imágenes siguientes:
Clasificación de las cónicasExisten ciertas cantidades asociadas a la matriz de la cónica que son invariantes respecto a los movimientos del plano (giros y traslaciones).
Si   y  son las matrices asociadas a la cónica después de que ésta ha sufrido un giro y una traslación, respectivamente, entonces
1)  det A=det A'=det A'',
2)   a11 + a22 = a'11+ a'22 = a''11 + a''22,
3)  det A00 = det A'00 = det A''00.
Elementosnotables de las cónicas
Centro:
Polar  Dado un punto  P=(x0,y0) se llama polar de P respecto de una cónica C de matriz A a la recta de ecuación
 
Si el punto P está en la cónica C entonces la recta polar de P respecto a C es precisamente la recta tangente a la cónica en dicho punto P.
 

La polar del punto (1,1) es la recta

 
Es posible que un punto P=(x0, y0) no tenga polar respecto a unacónica C. Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar el sistema de ecuaciones

Que impone que los coeficientes de x e y en la recta polar sean nulos (es decir que no exista dicha recta).
Para que este sistema tenga alguna solución se ha de verificar

Además si det A00 es no nulo, entonces la solución del sistema es única y por lo tanto habría un único punto que noposeerá recta polar. Este punto se denomina centro de la cónica. No todas las cónicas tienen centro.

El centro de la cónica tiene la particularidad de ser su centro de simetría.
Si C es una elipse o una hipérbola entonces  det A00  ≠ 0 y el sistema es compatible determinado lo que indica que estas cónicas tienen centro y que éste es único.

Sin embargo si la cónica es una parábola, todos suspuntos tienen polar. La parábola es por tanto una cónica sin centro.
Polo  Dada una recta r diremos que un punto P es un polo de r respecto a una cónica C  si r es la polar de P respecto a C
Por supuesto hay rectas que no tienen polos: en la elipse y la hipérbola son todas las que pasan por el centro y en la parábola son las rectas de dirección (-a12, a11) que son además perpendiculares al vector (a01 a12 - a02 a11, a01 a22 - a02 a12) y las únicas que cortan a la parábola en un solo punto.
Diámetro  Llamaremos diámetro de una cónica C a cualquier recta sin polo .
       

Diremos que dos diámetros son conjugados si  no son asíntotas (en el caso de la hipérbola) y uno de ellos coincide con el lugar geométrico de los puntos medios de las cuerdas determinadas por la cónica en las rectasparalelas al otro.
 
 

Ecuación reducida

La ecuación reducida de una cónica es aquella ecuación simplificada de la curva que sitúa el centro (si lo tiene) de la cónica como origen de coordenadas mientras que los ejes presentan unas relaciones particulares con la cónica.
Partiendo de la ecuación general de una cónica se puede llegar a su ecuación reducida aplicándole consecutivamenteun giro y una traslación de forma adecuada.
Clasificaremos en tres tipos las ecuaciones reducidas de las cónicas:
* Elipse, hipérbola, pares de rectas no paralelas:
 
Donde  a'11 y a'22 son las soluciones de la ecuación  en z
                                   

                                        
                                 

   

*  Parábola
 
con   ...
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