Cuerpos Rigidos: Sistemas Equivalentes Fuerza/Momento

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Introducción

En temas anteriores vimos que la fuerza resultante R de un sistema de dos o más fuerzas concurrentes era una fuerza única que producía sobre un cuerpo el mismo efecto que el sistema de fuerzas original.

Si R era nula el sistema de fuerzas estaba equilibrado y el cuerpo sobre el que se ejercía estaba en equilibrio.
En el caso de un cuerpo tridimensional con forma y tamañodefinidos, la idealización del punto ya no es válida ya que las fuerzas que se ejercen sobre el cuerpo no suelen ser concurrentes.

Para estos sistemas, la condición R = 0 es condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio del cuerpo. Debe cumplirse una 2ª restricción relacionada con la tendencia de las fuerzas a originar la rotación del cuerpo (Concepto de Momento).

Momentos y suscaracterísticas

El momento de una fuerza respecto a un punto o respecto a un eje es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del punto o del eje.

Ejemplo:
El momento de F respecto de O es una medida de la tendencia de la fuerza a hacer girar el cuerpo alrededor del eje AA.
La recta AA es perpendicular al plano que contiene a la fuerza F y al punto O.

PuntoO: Centro del momento.
d: Brazo del momento.
Recta AA: Eje del momento.

El momento tiene módulo, dirección y sentido y se suma de acuerdo con la regla de adición del paralelogramo.

Magnitud Vectorial

Módulo: Producto del módulo de la F por la distancia d medida desde la recta soporte de la fuerza al eje AA.

Unidades: N . m

Sentido del momento (prob. bidimensional):
Se indicamediante una flecha curva en torno al punto.
Por definición:
- Rotación antihoraria: momento positivo
- Rotación horaria: momento negativo





Problema Ejemplo 3.1




Problema sacado del libro
Mecanica vectorial para ingenieros - Beer & Johnston 8th
Pag.103
Principio de los momentos:
Teorema de Varignon

“El momento M de la resultante R de un sistema defuerzas respecto a cualquier eje o punto es igual a la suma vectorial de los momentos de las distintas fuerzas del sistema respecto a dicho eje o punto”.

“Es el momento a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al m,ismo punto O” . Pierre Varignon (1654-1722).
Mecanica vectorial para ingenieros - Beer& Johnston 8th
Pag.100

Los módulos de los momentos respecto al punto O de la resultante R y de las fuerzas A y B son:.

En la figura se ve que:


Por lo que:


Representación vectorial
de un Momento

Vectorialmente, El momento de unafuerza F respecto a un punto O, será:

MO = r x F

Donde r es el vector de posición de O a A de la recta soporte de F. Así:
 es el ángulo que forman los dos vectores (r y F)
e : es el vector unitario perpendicular al plano que contiene a los vectores r y F.
(r . sen ) : distancia d del centro del momento O a la recta soporte de F

En la figura siguiente podemos ver que la distanciad es independiente de la posición de A sobre la recta soporte:


Así pues, podemos escribir la ecuación vectorial del momento como:

MO = r x F = (r F sen ) e = F d e = MO e

La dirección y sentido del vector unitario e están determinados por la regla de la mano derecha (los dedos de la mano derecha se curvan de manera de llevar el sentido positivo de r sobre el sentido positivo de F yel pulgar señala el sentido de MO

Momento de una fuerza
respecto a un punto

El vector r que va del punto respecto del cual hay que determinar el momento (B) a un punto cualquiera de la recta soporte de la fuerza F (A) se puede expresar así:

r = rA/B = rA - rB = (xA – xB) i + (yA – yB) j + (zA – zB) k

La ecuación vectorial de cálculo del momento de una fuerza respecto a un punto:...
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