Cultura

INSTITUO TECNOLÓGICO DE TOLUCA

INGENIERIA ELECTRÓCNICA

ÁLGEBRA LINEAL

SALVADOR HORTA GONZALEZ

CORREO SEMANA 12

PRESENTA:
MONROY HERNÁNDEZ EDER

NUMERO DE CONTROL 10281263SEGUNDO SEMESTRE

PERIODO ENERO / JUNIO 2011

En esta semana se dio paso a la unidad numero 4 TRANSFORMACIONES LINEALES

Sea V W espacios vectoriales reales entonces una transformación lineal T de Ven W es una función que asigna a cada vector que pertenece al espacio vectorial un único valor
T V E W y que satisface:
U y V:
T ( U + V )
T ( ∞ V )= ∞ T V

Una transformación lineal (fincion o mapeo) T de Rn a Rm es una regla que asigna a cada vector XE Rn un vector T (x) R Rm. El conjunto Rn se llama dominio de T y Rm se llama codominio T
Ejemplo 1
Demuestre que la tranformaci´on T: R2→R2 definida por
T _ x
y _ = _ x + 3 y
x + 2 y _
es lineal.
Soluci´on
Sean u = _ x1
y1 _ y v = _ x2
y2 _.
Entonces
T(u + v) = T __ x1
y1 _ + _ x2
y2 __ = T _ x1 + x2
y1 + y2 _
= _(x1 + x2) + 3 (y1 + y2)
(x1 + x2) + 2 (y1 + y2) _
= _ x1 + 3 y1
x1 + 2 y1 _ + _ x2 + 3 y2
x2 + 2 y2 _
= T _ x1
y1 _ + T _ x2
y2 _ = T(u) + T(v)
Por otro lado, para todo escalar c,
T(c u) = T _c x1
c y1 _
= _ c x1 + 3 c y1
c x1 + 2 c y1 _
= c _ x1 + 3 y1
x1 + 2y1 _
= c T _ x1
y1 _
= c T(u)
Como se cumplen las dos condiciones:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)
T es lineal _Ejemplo 2
Demuestre que la transformaci´on T : R3→R2 es lineal:
T((x, y, z)′) = (x + z, y − z)′
3
Soluci´on
Sean u = (x1, y1, z1)′ y v = (x2, y2, z2)′. Entonces
T(u + v) = T((x1 + x2, y1 +y2, z1 + z2)′)
= ((x1 + x2) + (z1 + z2), (y1 + y2) − (z1 + z2))′
= (x1 + z1, y1 − z1)′ + (x2 + z2, y2 − z2)′
= T(u) + T(v)
Por otro lado, para todo escalar c,
T(c u) = T((c x1, c y1, c z1)′)
= (cx1 + c z1, c y1 − c z1)′
= c (x1 + z1, y1 − z1)′
= c T((x1, y1, z1)′)
= c T(u)
Como se cumplen las dos condiciones:
T(u + v) = T(u) + T(v)
T(c u) = c T(u)
T es lineal _
Comentario:
Profe...