Curvas de nivel y superficie de nivel

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Curvas de nivel y superficie de nivel

Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr(f) := {(x, y, f(x, y)) :(x, y) 2 Dom(f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio. Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersecciónde dicha superficie con el plano z = k, donde k 2 Recorrido(f). De esta manera, obtenemos el conjunto {(x, y, k) : f(x, y) = k}, el cual corresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y)con z = k. Al proyectar dicha intersección en el plano xy, obtenemos lo que se denomina curva de nivel.
Cuando comparamos una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio de las curvas denivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montaña es representada en dos dimensiones por medio de un mapa, donde se dibujan los contornos de dicha montaña indicando cual es laaltura en las coordenadas (x, y) de dicho contorno.

Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente a z = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0)).

Para una función de 2 variables z = f(x , y), tenemos lascurvas de nivel. Una curva de nivel es el conjunto de puntos (x , y) donde el valor de la función es una determinada constante z0. Entonces para hallar una curva de nivel se analiza f(x , y) = z0
Lascurvas de nivel se grafican en z = 0 como una proyección de las curvas en el resto de los planos "z"; z = 0 corresponde al plano cartesiano (x , y).

Consideremos como ejemplo la función f(x , y) =x^2 +y^2.
- La curva de nivel correspondiente a z = 0 seria 
x^2 +y^2 = 0, es decir, es el punto (x , y) = (0 , 0), que es la única solución a este caso, ya que 0^2 +0^2 = 0 
- La curva de nivel...
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