Curvas de nivel y superficie

CURVAS DE NIVEL
Y
SUPERFICIES



Curvas de Nivel

Definición:

 Una curva de nivel se define como el conjunto de puntos(x,y), donde el valor de la función es una determinada constante z0.Como se Determinan:
Para determinar las curvas de nivel se debe resolver la ecuación  = c.
Cuando se tiene una función z = f(x, y) de dos variables reales y valor real, la grafica dedicha función corresponde al conjunto gr(f) := {(x, y, f(x, y)) : (x, y) 2 Dom(f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, se obtiene una superficie en dicho espacio. Una forma de estudiar dichasuperficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k 2 Recorrido(f). De esta manera, se obtiene el conjunto {(x, y, k) : f(x, y) = k}, el cualcorresponde a la curva de nivel de la superficie z = f(x, y) con z = k, realizando la proyección conjunta a su intersección en el plano xy, obteniendo así la curva de nivel.

Ejemplos: Ejemplo 1: La función constante f (x,y) = 2  tiene como gráfica el  plano horizontal z = 2 en R   .La curva de nivel de valor c es vacía si  c = 2, y es todo el plano xy si c = 2.
 
Ejemplo 2: La función f(x,y) = x + y + 2 tiene como gráfica el plano inclinado   z = x + y + 2. Este plano interseca el plano xy ( z = 0) en la línea  y = - x - 2 y al eje z en el punto (0,0,2). Para cualquier valorde c, la curva de nivel de valor c es la recta           y = -x + (c-2).

Ejemplo 3: Consideremos la función z = x2 + y2. Tomando k > 0, la curva de nivel correspondiente az = k es la circunferencia x2 + y2 = k y tomando k = 0 la curva de nivel corresponde a la descrita por los puntos (x, y) tales que x2 + y2 = 0 (que corresponde únicamente al punto (0, 0)).Ejemplo 4: Cuando se compara una superficie z = f(x, y) con una montaña, el estudio
de las curvas de nivel corresponde a lo que acontece de manera análoga cuando dicha montana es representada en dos...