Curvas planas, ecuaciones parametricas y coordenadas polares

CURVAS PLANAS, ECUACIONES PARAMETRICAS Y COORDENADAS POLARES
2.1 CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMETRICAS

Hasta ahora conocemos la representación de una grafica mediante una ecuación con dosvariables. En este tema estudiaremos las situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano.

Antes de resolver algunos ejemplos de curvas en el espacio, introducimosun nuevo tipo de funciones, que se denominan funciones vectoriales; las cuales se aplican en números reales y vectoriales.
FUNCIONES VECTORIALES
Ahora consideraremos una función cuyo dominio es unconjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores. Una función tal se llama una función vectorial.
La siguiente es la definición precisa.
Definición: sea f y g dos funciones realesde una variable real t. entonces para el número t en el dominio común a f y g, existe un vector R definido por:
R(t)=f(t) i+ g(t) j. (1)

y R se llama una función vectorial.

Ejemplo 1.Dada R(t)= t-2i+t-3-1j encontrar el dominio R.
Solución f(t)=t-2 y g(t)=t-3-1
El dominio de R es el conjunto de valores de t para los cuales f(t) y g(t) están definidas. El valor de la funciónf(t) está definido para t ≥2 y g(t) está definida para todos los números reales excepto el 3. Por lo tanto, el dominio de R esta por t ≥2, t ≠3.

Si R es la función vectorial por (1), cuando t tomatodos los valores en el dominio de R, el punto final de la representación de posición del vector R(t) traza una curva C. Para el valor de t, obtenemos un punto (x,y) para el cual

x=ftY y=gt (2)
La curva C se puede definir por la ec. (1) o las ecuaciones (2), la ec. (1) se llama una ecuación vectorial de C. las variable t es un parámetro. Lacurva C se llama también una grafica; estos es, el conjunto de puntos (x,y) que satisfacen las Ecs. (2) es la gráfica de la función vectorial R.
Una ecuación vectorial de una curva, también como una...