curvas planas en ecuaciones polares

CURVAS PLANAS EN COORDENADAS POLARES.

Las coordenadas polares nos permiten representar también a las curvas planas haciendo posible con esto, estudiar una mayor diversidad de curvas. Utilizamos para la graficación el Plano Coordenado Polar.

PLANO COORDENADO POLAR.- Consiste en un eje (llamado eje polar) que parte de un punto conocido como origen o polo.


oEje Polar.

Un punto P en coordenadas polares puede representarse por una pareja ordenada ( no única) de coordenadas (r,). Donde:
r  Distancia del origen (polo) al punto r = .
  Ángulo formado por con el eje polar.
 es positivo si se mide en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (anti-horario). es negativo si se mide en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj (horario).
P(r, )

r
  0
o Eje Polar.



LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO POLAR.

Para la localización de puntos aislados o biencuando se pretende graficar una curva donde estos puntos se verán unidos, resulta conveniente la elaboración de una plantilla que consiste en una serie de circunferencias concéntricas interceptadas ortogonalmente por un conjunto de rectas (rectas radiales) que pasan por el origen y que nos permiten hacer más sencillo el proceso de graficación.

Se recomienda elaborar una plantilla que facilite lagraficación. Plantilla que se podrá estar utilizando cuando sea necesario. También es conveniente que se familiarice con los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos que aparecen en la plantilla


A continuación se muestra una plantilla.





PLANTILLA.


Para un punto en coordenadas polares pueden obtenerseotras representaciones.

(r, )  r ,  + 2n. Si r no cambia de signo, al ángulo  pueden sumársele o
restársele 2 ó múltiplos de él.
(r, )  - r ,  + (2n + 1 ). Si r cambia de signo, entonces al ángulo  puede
sumársele o restársele  o múltiplos de él, de acuerdo a laexpresión dada.
En ambos casos: n Enteros
Ejemplos:
(4, 2/3)  (4, 8/3), (4, 14/3),...........
(4, -4/3), (4, -10/3),........
(-4, 5/3), (-4, 11/3),........
(-4, -/3), (-4, -7/3),..........etc.,
( 5/2, -/6)  (5/2, 11/6), (5/2, -13/6), (-5/2, 5/6), (-5/2,-7/6),......

Ecuación Polar.- Es una ecuación que contiene una o las dos variables polares.
Gráfica de una ecuación polar.- Para graficar una ecuación polar existen diferentes procedimientos de los cuales se elige aquél que más convenga:
Expresando una variable en función de la otra y haciendo una tabulación para obtener las diferentes parejas de coordenadas.
Determinando la simetría de la curva(si es que tiene) con respecto al eje polar, a la recta radial  = /2 o al origen. Si existe la simetría, entonces se tabula para la mitad del intervalo, se grafica la parte correspondiente, y la otra parte de la gráfica se dibuja como una reflexión de la parte graficada.
Cambiando la ecuación polar a la forma rectangular, identificándola de esta forma, y posteriormente graficándola.

Losextremos de la función (máximo(s)), las tangentes en el polo(de utilidad sobre todo en curvas que se interceptan consigo mismas) nos facilitan el proceso de graficación.

CRITERIO DE SIMETRÍA PARA CURVAS POLARES.
La gráfica de una ecuación polar es simétrica con respecto:
i) Al eje polar.- Si al sustituir en la ecuación dada (r,) por (r,-) la ecuac. no se altera....