Curvilinea

Introducción

El termino regresión fue utilizado por primera vez como un concepto estadístico en 1877 por sir Francis Galton quien llevo a cabo un estudio que mostro que la estatura de los niños nacidos de padre altos tiende a retroceder o ''regresar” hacia la estatura media de la población. Designo la palabra regresión como el nombre del proceso general de predecir una variable (la estatura delos niños) a partir de otra (la estatura del padre o de la madre). Más tarde, los estadísticos acunaron el termino de regresión múltiple para describir el proceso por el cual se utilizan varias variables para predecir otra. El análisis de regresión, desarrollaremos una ecuación de estimación, esto es, una formula matemática que relaciona las variables desconocidas con la variable conocida.Después de conocer el patrón de esta relación, podemos aplicar el análisis de correlación para determinar el grado en el que las variables se relacionan. El análisis de correlación, entonces, nos indica que tan bien la ecuación de estimación describe realmente la relación.

Tipos de relaciones
Los análisis de regresión y de correlación se basan en la relación, o asociación, entre dos (o más)variables. La variables (o variables) conocidas(s) se llamaran variable(s) independiente(s); la que retamos de predecir es la variables dependiente.

Regresión curvilínea

Caso parabólico (función de segundo grado)
Calculemos la ecuación de regresión para la siguiente:los datos pertenecen a la cantidad de una sustancia que permanece en un sistema químico en reacción, después de X minutos.

X.(minutos) | 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 2.7 3.0 3.2 3.5 4.0 4.5 5.0 5.2 5.5 6.0 |
Y. (gramos) | 34 32 26 18 18 12 14 12 15 13 18 16 22 26 35 |
Primero llevamos los datos a una gráfica para ver la forma que lom1 el diagrama de dispersión y así ver la función que se adecúa más n 11 información obtenida.

Gráfica 2

Podemos observar que el diagrama de dispersión toma lafoma de una parábola, por lo tanto ajustaremos una función de segundo grado: N = a + bX + cX2. Para encontrar las ecuaciones normales, por el método de mínimos cuadrados, seguimos la misma metodología descrita anteriormente; es decir, Yi. - Yc)2 debe ser un mínimo; sustituyendo Ycsu valor se tiene X (Y. - a - bX - cX2)2, un mínimo; luego se deriva con respecto a "a," "b"y "c" e igualando lasderivadas a cero; después di operar, se llegará a las siguientes ecuaciones normales:

IY= | na+blX+cSX2 | (1) |
IXY= | a X X + b I X2 + c I X3 | (2) |
ZX»Y= | alX2+blX3+c!X4 | (3) |
En el cuadro siguiente aparecen los resultados que, según las ecuaciones normales, debemos calcular para luego sustituir en dichas ecuaciones el valor de las constantes "a," "b" y "c."

Cuadro 2
X. | Y. | XY |X2Y | X2 | X3 | X4 | YC |
1.0 | 34 | 34.0 | 34.00 | 1.00 | 1.000 | 1.0000 | 34.14 |
1.2 | 32 | 38.4 | 46.08 | 1.44 | 1.728 | 2.0736 | 30.80 |
1.5 | 26 | 39.0 | 58.5 | 2.25 | 3.375 | 5.0625 | 26.31 |
2.0 | 18 | 36.0 | 72.00 | 4.00 | 8.000 | 16.0000 | 20.21 |
2.5 | 18 | 45.0 | 112.50 | 6.25 | 15.62 | 39.0625 | 15.86 |
2.7 | 12 | 32.4 | 87.48 | 7.29 | 19.68 | 53.1441 | 15.60 |
3.0 | 14| 42.0 | 126.00 | 9.00 | 27.00 | 81.0000 | 13.23 |
3.2 | 12 | 38.4 | 122.88 | 10.24 | 32.76 | 104.857 | 12.66 |
3.5 | 15 | 52.5 | 183.75 | 12.25 | 42.87 | 150.062 | 12.33 |
4.0 | 13 | 52.0 | 208.00 | 16.00 | 64.00 | 256.000 | 13.16 |
4.5 | 18 | 81.0 | 364.50 | 20.25 | 91.12 | 410.062 | 15.72 |
5.0 | 16 | 80.0 | 400.00 | 25.00 | 125.0 | 625.000 | 20.01 |
5.2 | 22 | 114.4 | 594.88 |27.04 | 140.6 | 731.161 | 22.21 |
5.5 | 26 | 143.0 | 786.50 | 30.25 | 166.3 | 915.062 | 26.03 |
6.0 | 35 | 210.00 | 1260.0 | 36.00 | 216.0 | 1296.00 | 33.78 |
50.8 | 311 | 1038.1 | 4457.0 | 208.26 | 955.1 | 4685.54 | |

Sustituyendo en el sistema:
∑Y=na+bZX+clX2
∑XY=a!X+blX2+clX3
∑ X2Y =alX2+blX3+c!X4
311 = 15a + 50.8 b + 208.26c
1038.1 = 50.8a + 208.26 b + 955.162 c...