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Páginas: 9 (2196 palabras)
Publicado: 2 de noviembre de 2012
ESTÁTICA DE SISTEMAS
Índice
1. Condiciones necesarias de equilibrio 2. Equilibrio de un solido 3. Fuerzas internas de un sólido 4. Isostatismo e hiperestatismo 5. Sólido con punto fijo 5.1. Posicionamiento del sólido . . . . . . . . 5.2. Sistema de fijación isostática e incógnitas 5.3. Fuerzas directamente aplicadas . . . . . 5.4. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . 5.5. Resolución . . .. . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Posiciones de equilibrio . . . . . . 5.5.2. Incógnitas de ligadura . . . . . . 6. Sólido con eje fijo 6.1. Posicionamiento del sólido . . . . . . . . 6.2. Sistema de fijación isostática e incógnitas 6.3. Fuerzas directamente aplicadas . . . . . 6.4. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . 6.5. Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Posiciones deequilibrio . . . . . . 6.5.2. Incógnitas de ligadura . . . . . . 2 2 3 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7
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1.
Condiciones necesarias de equilibrio
Sea el sistema material formado por N partículas materiales. Si hay equilibrio del sistema, cada partícula deberá estar en equilibrio: ¯i FE = ¯ (i = 1, ..., N) 0 i i ¯ ¯ 0 OM i ∧ FE +OM i ∧ FI = ¯ (i = 1, ..., N) ¯ +FIi (1) (2)
Sumando por un lado las ecuaciones (1) para todas las partículas delsistema y por otro las ecuaciones (2) para todas las partículas del sistema se tiene:
N
(1) :
i=1 N
¯i FE
+
i ¯ FI i=1
N N
N
=¯ 0
⇒
i=1 N
¯i FE = ¯ 0
(3)
(2) :
i=1
OM i
¯i ∧ FE +
¨ ¨¨ ¨ ¯i i∧F = OM I ¨¨ ¨ i=1 ¨
¯ 0
⇒
i=1
¯i OM i ∧ FE = ¯ 0
(4)
Las relaciones (3) y (4) son las condiciones necesarias de equilibrio de un sistema, esdecir, si hay equilibrio entonces se satisfacen. Pero no son condición suficiente de equilibrio, es decir, que el cumplimiento de las relaciones anteriores no implica obligatoriamente el equilibrio del sistema. Por ejemplo, un par de fuerzas iguales, opuestas y colineales, que satisfacen las relaciones (3) y (4) pueden producir un movimiento en sistemas deformables.
2.
Equilibrio de un solidoDemostremos que las relaciones (3) y (4) son condiciones suficientes de equilibrio para un sólido. Dejamos el sólido en reposo en una configuración en la que se satisfacen las citadas relaciones. Para la primera, se tiene:
N
Mγ = ¯
i=1
G
¯i FE = ¯ 0
(A)
⇒
γ G (t) = ¯ ¯ 0
⇒
v G (t) = v0 = ¯ ¯ ¯G 0
⇒
r G (t) = r0 ¯ ¯G
(5)
La implicación (A) se debe a que no esposible que la masa total del sistema pueda ser nula (M = 0), porque los sistemas de masa nula tienen movimiento indeterminado en el modelo matemático definido por las ecuaciones generales de la Dinámica newtoniana. ¯ d HG d(¯G . ω ) I ¯ = = dt dt
N
¯i OM i ∧ FE = ¯ 0
i=1
⇒
¯ .ω =¯ .ω = ¯ IG ¯ IG ¯ 0 0
(B)
⇒
ω (t) = ¯ ¯ 0
(6)
La implicación (B) se debe a que si ω = ¯ laúnica forma de anulación de ¯G . ω exige un ¯ 0 I ¯ solido con momento central de inercia nulo en la dirección de ω , con lo que obligatoriamente ¯ estaríamos en un caso degenerado de sólido. El campo de velocidades determinado por (5) y (6) es el propio del reposo luego, si se cumplen las relaciones citadas, habrá equilibrio obligatoriamente.
3.
Fuerzas internas de un sólido
Supongamos...
Índice
1. Condiciones necesarias de equilibrio 2. Equilibrio de un solido 3. Fuerzas internas de un sólido 4. Isostatismo e hiperestatismo 5. Sólido con punto fijo 5.1. Posicionamiento del sólido . . . . . . . . 5.2. Sistema de fijación isostática e incógnitas 5.3. Fuerzas directamente aplicadas . . . . . 5.4. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . 5.5. Resolución . . .. . . . . . . . . . . . . . 5.5.1. Posiciones de equilibrio . . . . . . 5.5.2. Incógnitas de ligadura . . . . . . 6. Sólido con eje fijo 6.1. Posicionamiento del sólido . . . . . . . . 6.2. Sistema de fijación isostática e incógnitas 6.3. Fuerzas directamente aplicadas . . . . . 6.4. Ecuaciones de equilibrio . . . . . . . . . 6.5. Resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.1. Posiciones deequilibrio . . . . . . 6.5.2. Incógnitas de ligadura . . . . . . 2 2 3 4 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7
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1.
Condiciones necesarias de equilibrio
Sea el sistema material formado por N partículas materiales. Si hay equilibrio del sistema, cada partícula deberá estar en equilibrio: ¯i FE = ¯ (i = 1, ..., N) 0 i i ¯ ¯ 0 OM i ∧ FE +OM i ∧ FI = ¯ (i = 1, ..., N) ¯ +FIi (1) (2)
Sumando por un lado las ecuaciones (1) para todas las partículas delsistema y por otro las ecuaciones (2) para todas las partículas del sistema se tiene:
N
(1) :
i=1 N
¯i FE
+
i ¯ FI i=1
N N
N
=¯ 0
⇒
i=1 N
¯i FE = ¯ 0
(3)
(2) :
i=1
OM i
¯i ∧ FE +
¨ ¨¨ ¨ ¯i i∧F = OM I ¨¨ ¨ i=1 ¨
¯ 0
⇒
i=1
¯i OM i ∧ FE = ¯ 0
(4)
Las relaciones (3) y (4) son las condiciones necesarias de equilibrio de un sistema, esdecir, si hay equilibrio entonces se satisfacen. Pero no son condición suficiente de equilibrio, es decir, que el cumplimiento de las relaciones anteriores no implica obligatoriamente el equilibrio del sistema. Por ejemplo, un par de fuerzas iguales, opuestas y colineales, que satisfacen las relaciones (3) y (4) pueden producir un movimiento en sistemas deformables.
2.
Equilibrio de un solidoDemostremos que las relaciones (3) y (4) son condiciones suficientes de equilibrio para un sólido. Dejamos el sólido en reposo en una configuración en la que se satisfacen las citadas relaciones. Para la primera, se tiene:
N
Mγ = ¯
i=1
G
¯i FE = ¯ 0
(A)
⇒
γ G (t) = ¯ ¯ 0
⇒
v G (t) = v0 = ¯ ¯ ¯G 0
⇒
r G (t) = r0 ¯ ¯G
(5)
La implicación (A) se debe a que no esposible que la masa total del sistema pueda ser nula (M = 0), porque los sistemas de masa nula tienen movimiento indeterminado en el modelo matemático definido por las ecuaciones generales de la Dinámica newtoniana. ¯ d HG d(¯G . ω ) I ¯ = = dt dt
N
¯i OM i ∧ FE = ¯ 0
i=1
⇒
¯ .ω =¯ .ω = ¯ IG ¯ IG ¯ 0 0
(B)
⇒
ω (t) = ¯ ¯ 0
(6)
La implicación (B) se debe a que si ω = ¯ laúnica forma de anulación de ¯G . ω exige un ¯ 0 I ¯ solido con momento central de inercia nulo en la dirección de ω , con lo que obligatoriamente ¯ estaríamos en un caso degenerado de sólido. El campo de velocidades determinado por (5) y (6) es el propio del reposo luego, si se cumplen las relaciones citadas, habrá equilibrio obligatoriamente.
3.
Fuerzas internas de un sólido
Supongamos...
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