Cálculo integral

INTEGRAL DEFINIDA
Definición
Si ƒ es una función continua definida para α ≤ x ≤ b, dividimos el intervalos [α, b] en n subintervalos de igual ancho ∆x = (b – α)/n. hacemos que x ₒ (=α), x₁, x₂,………………, xn (=b) sean los puntos extremos de estos subíntralos y elegimos x*₁, x*₂,……., x*n como los puntos muestra en estos subintervalos, de modo que x*₁se encuentre en el i-ésimo subintervalo [xᵢ -₁, xᵢ]. Entonces la integral definida de ƒ, desde α hasta b, es

abfx= limn→∞i=1nƒ(x*ᵢ)∆x

Como supusimos que ƒ es continua, es posible probar que el límite de la definición 2 siempre existe y da el mismo valor independiente de cómo elijamos los puntos muestras x*ᵢ. Si consideramos los puntos muestra como puntos extremos de la derecho, entonces x*ᵢ=xᵢ y la definición de integral se convierteen.
abƒx= limn→∞i=1 nƒ(xᵢ)∆x
Si elegimos los puntos muestras de manera que sean puntos extremos de la izquierda entonces x*ᵢ= xᵢ - ₁ y la definición se convierte en
abƒxdx= limn→∞i=1nƒxᵢ-1∆x
A manera de alternativa, podríamos elegir x*ᵢ, como el punto medio del subintervalo o cualquier otro número entre xᵢ - 1 y xᵢ. Si bien la mayor parte de las funciones que encontramos son continuas.Leibniz introdujo el símbolo ∫ y se llama el símbolo de integral. Es una S alargada y se eligió debido a que una integral es un límite de sumas. En la notación abƒxdx, f(x) se llama integrando, y a y b se conocen como los límites de integración; a es el límite inferior y b se conocen como lo límite superior. El símbolo dx no tiene significado en sí; todo abƒxdx, es un símbolo. El procedimientopara calcular una integral se llama integración.
La integral definida abƒxdx, es un número que no depende de x. de hecho, podríamos utilizar cualquier letra en ligar de x, sin cambiar el valor de la integral.
abfxdx= abftdt= abfr dr
La suma
i=1nf(x*i)∆x
LA SUMA DE RIEMANN
A esta se le llama suma Riemann, en honor del matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866), sabemos que si ƒ espositiva, luego la suma de Riemann puede interpretarse como una suma de áreas de los rectángulos de aproximación.
Si ƒ toma valores tanto positivos como negativos, entonces la suma de Riemann es la suma de las áreas de los rectángulos que se encuentran arriba del eje x y las negativas de las áreas de los rectángulos que están abajo del eje x. una integral definida puede interpretarse como unadiferencia de áreas:
abfxdx=A₁- A₂
Donde A₁ es el área de la región de arriba del eje de x debajo de la grafica de ƒ y A₂ corresponde a la región debajo del eje x y arriba de la grafica ƒ.
Aunque hemos definido abƒxdx, dividiendo [a, b] en subintervalos del mismo ancho, hay situaciones en las que resulta ventajoso trabajar con intervalos de ancho desigual. Si los anchos del sub intervalo son ∆x₁,∆x₂…..., ∆xn, tenemos que asegurarnos de que todos estos anchos tiendan a 0 en el proceso de determinación de límites, esto sucede sin el ancho más grande, máx. ∆xᵢ tiende a 0. De manera que en este caso la definición de integral definida se convierte en.
bafx= limmáx ∆→0i=1nf(x*ᵢ)∆xᵢ
Ejemplo 1.
limn→∞i=1n(x3i)∆x Como una integral sobre el intervalo [0,π].
Solución:
ƒ(x) = x³ + x sen xy x*ᵢ = xᵢ
limn→∞i=1nx3i∆x= 0πx3+ x sen xdx
Cuando se aplica la integral definida a situaciones físicas, será importante reconocer los límites de sumas como integrales, como el ejemplo 1. En general cuando escribimos
limn→∞i=1nƒx*i∆ x= abƒxdx
Remplazamos lím ∑ con ʃ, x*ᵢ y con ∆x con dx.

PROPIEDADE LA INTEGRAL DEFINIDA
Cuando definimos la integral definida abƒxdx de maneraimplícita hicimos la supocicion de que a < b. Pero la definición como límite de la suma de Riemann, tiene sentido aun cuando a > b. Advierta que si invertimos a y b, entonces ∆x cambia de (b – a)/n a (a - b)/n. por consecuencia
bafxdx= - abfxdx
Si a = b, luego ∆x = 0 y por tanto
aafxdx=0



Ahora desarrollamos algunas propiedades básicas de las integrales que nos ayudarán a...